Stammfunktion eines Bruches < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Bestimmen Sie das folgende Integral:
[mm] \integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{\bruch{x*cos(x^{2})}{1+sin(x^{2})}dx} [/mm] |
Hallo,
diese Frage habe ich in keinem anderen Forum gestellt. Das Bilden der Stammfunktion bei diesem Integral bereitet mir Schwierigkeiten. Ich vermute, dass ich hier mit der Substitution arbeiten muss. Deswegen setze ich einfach mal 1+sin(x²)=u. Diese Gleichung 1+sin(x²)=u könnte man nun einfach nach x auflösen und in den oberen Term einsetzen. Bin ich damit auf dem Holzweg, weil es bessere Möglichkeiten gibt? Oder ist diese Vorgehensweise korrekt?
Für Hilfe bin ich sehr dankbar
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Du hast genau die richtige Substitution. Doch wozu nach [mm]x[/mm] auflösen? Leite einmal in einer Nebenrechnung dein [mm]u[/mm] ab. Und dann vergleiche mit dem Integral. Da sollte dir eigentlich etwas auffallen.
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Wenn ich das u ableite, dann erhalte ich u'=2x*cos(x²). Aber mir fällt ehrlich gesagt nichts weiter auf, als dass die Ableitung von u die selben Komponenten hat, wie die Komponenten im Zähler vorhanden sind.
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Hallo
[mm] \bruch{du}{dx}=2x*cos(x^{2})
[/mm]
[mm] dx=\bruch{du}{2x*cos(x^{2})}
[/mm]
jetzt heißt es Einsetzen für [mm] 1+sin(x^{2}) [/mm] setzt du u ein und für dx setzt du [mm] \bruch{du}{2x*cos(x^{2})}, [/mm] dann wird dein Integral richtig schön freundlich
Steffi
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Achso, das x kann stehen bleiben, da es sich ja sowieso im Zähler und im Nenner wegkürzt.
Ich habe nun für die Stammfunktion [mm] F(x)=\bruch{1}{2}*ln|u| [/mm] raus bzw. nach der Rücksubstitution:
[mm] F(x)=\bruch{1}{2}*ln|sin(x²)+1|
[/mm]
Oder habe ich etwas falsch gemacht?
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Hallo, F(x) perfekt, jetzt die Grenzen einsetzen, Steffi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:02 Mi 21.01.2009 | | Autor: | kasalapihj |
Es ist leichter als es aussieht 
Vielen Dank für die Hilfe
Gruß
kasalapihj
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Warum meinen immer nur alle, sie müßten nach einer Variablen auflösen, um sie in einem Term einzusetzen? Man kann doch auch umgekehrt einen Term durch eine Variable ersetzen.
[mm]u = 1 + \sin \left( x^2 \right) \, , \ \ \mathrm{d}u = 2x \cos \left( x^2 \right)~\mathrm{d}x[/mm]
Integrieren wir unbestimmt:
[mm]\int \frac{\overbrace{x \cos \left( x^2 \right)~\mathrm{d}x}^{\frac{1}{2}~\mathrm{d}u}}{\underbrace{1 + \sin \left( x^2 \right)}_{u}} = \frac{1}{2} \int \frac{\mathrm{d}u}{u}[/mm]
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