Stammfunktion einer e-Funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:54 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
| Aufgabe | | Stammfunktion bilden |
Hallo!
Ich soll von folgender Funktion die Ableitung und die Stammfunktion bilden. Die Ableitung ist kein Problem, doch wie man die Stammfunktion berechnet weiß ich überhaupt nicht.
[mm] (-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4})*e^{-2x}
[/mm]
Ich hoffe, ihr könnt mir helfen, ich habe dummerweise wirklich gar keine Ahnung, wie das funktioniert. :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:04 Do 29.05.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Sagt dir die partielle Integration was? Wenn ja, dann könntest du es damit machen.
Ansonsten probier mal folgendes (einfach mal machen, nicht rüber aufregen, dass ich über Ableitungen rede ;)):
Wenn du deine Funktion ein paar mal ableitest (kannst ja mal 2-3mal machen), dann solltest du wieder das [mm] e^{-2x} [/mm] ausklammern, damit die Ableitung die selbe Struktur hat wie deine Ausgangsformel.
Dann siehst du
1. Dass jede Ableitung aus dem Faktor [mm] e^{-2x} [/mm] besteht
und
2. ...kannst ja mal selber gucken, was für den anderen Faktor (die Klammer) gilt.
Danach könntest du mit den Erkenntnissen auf die Form deiner gesuchten Stammfunktion schließen.
Bis hier hin erstmal, wenn du das gemacht hast, sehen wir mal weiter, oder du schaffst es sogar alleine weiter!
Außerdem: Willkommen im Matheraum ;)
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:29 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Erstmal danke, nur leider hilft mir das nicht wirklich weiter. ^^'''
Ich hab bereits versucht irgendwie über die erste Ableitung wieder zur eigentlichen Funktion zurückzufinden, also die Stammfunktion davon zu bilden. Ist mir nicht gelungen. Die zweite Ableitung gibt mir auch keinerlei Aufschluss darüber.
Und partitielle Integration sagt mir leider auch nichts.
Ich brauch einfach eine Formel oder einen Lösungsweg, wie ich die SF ermittle, alles andere hilft mir leider nicht....
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:35 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Das übliche Verfahren bei dieser Funktion wäre wirklich die partielle Integration.
Wenn Du dieses Verfahren aber noch nicht kennst, kannst Du auch wie folgt vorgehen:
Die Stammfunktion hat die Form $F(x) \ = \ [mm] (a*x+b)*e^{-2x}$ [/mm] .
Leite diese Funktion nun mal ab und führe anschließend einen Koeffizientenvergleich durch.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:26 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Auch dir vielen Dank!
Aber ich glaub, ich bin zu blöd dafür. Ich hab jetzt eine halbe stunde versucht, das irgendwie auf die Reihe zu bekommen. Das einzige was mir gelungen ist, ist die Stammfunktion von [mm] e^{-2x} [/mm] zu bilden. Ich hab jetzt also [mm] -2e^{-2x}. [/mm] Aber ich versteh immer noch nicht, wie ich das mit den beiden gebrochenen Zahlen davor mache. Das Wort Koeffizientenvergleich sagt mir leider auch nichts. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:38 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Die Stammfunktion zu [mm] $e^{-2x}$ [/mm] lautet [mm] $-\bruch{1}{2}*e^{-2x}$ [/mm] .
Zum Koeffizientenvergleich: wie lautet denn die Ableitung von $F(x) \ = \ [mm] (a*x+b)*e^{-2x}$ [/mm] ?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:48 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Oh stimmt, ich muss ja den Kehrwert von der 2 nehmen.
Die Ableitung von der Formel die du nanntest müsste folgende sein: [mm] (a+-2ax-2b)*e^{-2x}
[/mm]
Aber irgendwie bin ich dadurch jetzt auch nicht schlauer. ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:57 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Peter!
Soweit richtig! Und das vergleichen wir nun mit der gegebenen Funktion:
$$(a-2a*x-2b)*e^{-2x} \ = \ \left[\red{-2a}*x+(\blue{a-2b})\right]*e^{-2x} \ = \ \left(\red{-\bruch{3}{2}}*x \ \blue{-\bruch{5}{4}}\right)*e^{-2x}$$
Es ergibt sich hieraus also folgendes Gleichungssystem:
$$\red{-2a} \ = \ \red{-\bruch{3}{2}}$$
$$\blue{a-2b} \ = \ \blue{-\bruch{5}{4}$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:13 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Danke, aber, ich hab keine Ahnung, was mir das jetzt bringt...
Ich schreib morgen Klausur und muss auch noch ln Funktion beherrschen, von der ich leider noch weniger Ahnung hab. Daher bräuchte ich einfach nur einen Schritt-für-Schritt-Lösungsweg, da ich mit der Formel an sich ja nicht alzu viel anzufangen weiß. Ich sitz nun fast zwei Stunden an dieser einen Aufgabe und bin nur einen kleinen Schritt weiter... Ich hoffe du kannst das nachvollziehen und bist mir net böse, aber mir läuft ein wenig die Zeit davon und ich brauch wenigstens 5 Punkte.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:16 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Wie oben angedeutet, ist der "normale" Gang hier das Verfahren der partiellen Integration (was bei e-Funktionen und auch ln-Funktion sehr üblich ist).
Ich habe Dir nun einen Alternativweg gezeigt. Hast Du das Gleichungssystem nun mal gelöst und $a_$ und $b_$ bestimmt?
Denn damit hast Du dann auch sofort Deine gesuchte Stammfunktion.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:25 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Achso.
Naja, ich hätte da jetzt für a=-3/4 und für b=1/4
Also wäre die Stammfunktion dann [mm] (-3/4x+1/4)*e^{-2x}?
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:27 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Das stimmt nicht mit den Werten ... bei $a_$ solltest Du nochmal das Vorzeichen überdenken.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Oh, stimmt. Demzufolge müsste sich dann auch b ändern. Dann hätte ich aber für b 1 und somit:
$ [mm] (3/4x+1)\cdot{}e^{-2x} [/mm] $
Wenn es diesmal nicht stimmt, sag mir bitte die richtige Antwort... ich hab mich eben schon 5 mal verrechnet, weil ich so gestresst bin.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:42 Do 29.05.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Nun stimmt es! ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Das kannst Du auch selber kontrollieren, wenn Du von dieser Funktion wieder die Ableitung bildest ... was erhältst Du?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:47 Do 29.05.2008 | | Autor: | PeterR |
Hoffentlich den Ursprungswert, hehe. Hab keine Zeit, es jetzt nochmal durchzurechnen. Bin dir jedenfalls sehr dankbar für deine Hilfe und hoffe, nicht alzu aufdringlich gewesen zu sein.
Gruß, Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:10 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Hi, da bin ich wieder! Arbeit wurde vertagt, daher hab ich noch ein wenig mehr Zeit zum lernen. Jedenfalls wollte ich es jetzt mal mit der partitiellen Integration probieren. Ein paar - leichte - Aufgaben sind mir gelungen, aber die im Eingangspost erwähnte leider nicht. Daher würde ich gern wissen, wo mein Fehler bei der Rechnung liegt.
Also:
Für die part. Integr. brauch ich ja folgende Formel:
[mm] u*v-\integral{(u'*v)dx}
[/mm]
Eingesetzt würde das also folgendermaßen aussehen:
[mm] (-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4})*e^{-2x} [/mm] - [mm] \integral{(-\bruch{3}{2})+e^{-2x} dx}
[/mm]
Den letzten Teil müsste ich ja eigentlich nicht nochmal wirklich integrieren, weil nach 3/2 ja kein x mehr steht. Kann ich das Integrationszeichen somit weglassen?
Dann steht dort also:
[mm] (-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4})*e^{-2x} [/mm] - [mm] (-\bruch{3}{2})+e^{-2x}
[/mm]
Wenn ich nun [mm] e^{-2x} [/mm] ausklammere, erhalte ich
[mm] e^{-2x}(-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4}+\bruch{3}{2})
[/mm]
= [mm] e^{-2x}(-\bruch{3}{2}x-\bruch{11}{4})
[/mm]
Ist allerdings falsch. Frage: Wo liegt mein Fehler?
Gruß,
Peter
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:18 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Du musst schon die formel richtig (und vollständig) anwenden.
[mm] $$\integral{u*v' \ dx} [/mm] \ = \ [mm] u*v-\integral{u'*v \ dx}$$
[/mm]
Für die Funktion $f(x) \ = \ [mm] \left(-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4}\right)*e^{-2x}$ [/mm] musst Du wählen:
$$u \ = \ [mm] \left(-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4}\right)$$
[/mm]
$$v' \ = \ [mm] e^{-2x}$$
[/mm]
Ermittle daraus nun also $u'_$ bzw. $v_$ .
Und wo "zauberst" Du in Deiner Rechnung das Pluszeichen im hinteren Integral her?
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Das + soll natürlich ein * sein, hab mich vertippt.
Achso, ich hab die Formel an sich falsch verstanden. Bei den anderen Aufgaben hatte es geklappt, weil da lediglich [mm] e^x [/mm] dastand und die Stammf. davon ja auch [mm] e^x [/mm] ist.
Also müsste es folgendermaßen aussehen
$ [mm] (-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4})\cdot{}-1/2e^{-2x} [/mm] $ - $ [mm] \integral{(-\bruch{3}{2})*-1/2e^{-2x} dx} [/mm] $
So, ich habs bis zu ende gerechnet und es immernoch ein kleiner Fehler drin. :(
$ [mm] (-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4})\cdot{}-1/2e^{-2x} [/mm] $ - [mm] $(-\bruch{3}{2})+-1/2e^{-2x} [/mm] $
e ausgeklammert:
$ [mm] e^{-2x}(-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4}+\bruch{3}{2}) [/mm] $
Jetzt jede dieser Zahlen natürlich *-1/2 (hab mir jetz mal nich die Mühe gemacht, dass in der Gleichung mithinzuschreiben ^^)
$ [mm] e^{-2x}(\bruch{3}{4}x+\bruch{5}{8}-\bruch{3}{4}) [/mm] $
Und nun zusammengefügt:
$ [mm] e^{-2x}(\bruch{3}{4}x+\bruch{1}{8})$
[/mm]
das 1/8 ist falsch. Wo hab ich mich diesmal vertan?
Gruß,
Peter
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:00 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
"Und wieder ein Pluszeichen drin ... ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]") "
Scheiß copy&paste. ^^
Sry, soll natürlich auch hier mal sein.
Also muss ich das doch integrieren auch wenn dort jetzt kein "x" hinter dem bruch steht?
Nagut, dann versuch ichs nochmal:
$ [mm] (-\bruch{3}{2}x-\bruch{5}{4})\cdot{}-1/2e^{-2x} [/mm] $ - $ [mm] (+\bruch{3}{4})*-1/2e^{-2x} [/mm] $
Alles *-1/2 und e ausgeklammert.
$ [mm] e^{-2x}(\bruch{3}{4}x+\bruch{5}{8}+\bruch{3}{8}) [/mm] $
So und das dürfte doch jetzt passen oder?
Wenn ich mich nicht verrechnet habe komme ich auf
$ [mm] (3/4x+1)\cdot{}e^{-2x} [/mm] $
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Das Ergebnis stimmt nun! Aber zwischendurch auch ausreichend Klammern setzen!
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:14 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Erstmal Danke für deine Hilfe!
Ich hab jetzt noch eine weitere Frage für heute.
Es geht um die Funktion [mm] x³*e^{x}
[/mm]
Ich hab die Funktion über die partitielle Integration gerechnet, das Ergebnis stimmt auch, aber es ist doch arg umständlich muss ich sagen. Ich vermute hier ist dieser Koeffizientenvergleich sinnvoller. Aber wie setze ich den bei dieser Funktion denn an?
Oder gibt es vllt noch eine andere Methode die Stf zu bestimmen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:24 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Du hast Recht: mit partieller Integration musst Du hier in 3 Zwischenschritten vorgehen (d.h. 3-mal partiell integrieren).
Für die Methode mit dem Koeffzientenvergleich musst Du folgende Stammfunktion wählen:
$$F(x) \ = \ [mm] \left(a*x^3+b*x^2+c*x+d\right)*e^x$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:45 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Aber wenn ich das jetzt ableite komme ich doch auf ein Gestrüpp aus Zahlen und Variablen:
[mm] e^{x}(ax³+3abx²+2bcx+cd)
[/mm]
Wie soll ich so einen Koeffizientenvergleich ausführen?
Ich hab doch nur 1 x³. Ich versteh das irgendwie nicht so recht.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:54 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
Deine Ableitung ist nicht richtig. Du hast die einzelnen Potenzen von $x_$ falsch zusammengefasst. Zum Beispiel muss es $(3a \ [mm] \red{+} [/mm] \ [mm] b)*x^2$ [/mm] heißen.
Für den Koeffzientenvergleich solltest Du [mm] $x^3$ [/mm] ausführlich hinschreiben:
[mm] $$x^3 [/mm] \ = \ [mm] 1*x^3+0*x^2+0*x+0$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:07 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Verstehe. Ich hab nun für
a=1
b=-3
c=6
d=-6
Folglich lautet die Stf. [mm] e^{x}(x³-3x²+6x-6)
[/mm]
Hm... bei der part. Int. hatte ich statt +6x -6x. Welches stimmt jetzt, irgendwo hab ich einen kleinen Fehler? ^^
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:22 So 01.06.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Peter!
> Folglich lautet die Stf. [mm]e^{x}(x³-3x²+6x-6)[/mm]
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") Das ist richtig!
> Hm... bei der part. Int. hatte ich statt +6x -6x. Welches
> stimmt jetzt, irgendwo hab ich einen kleinen Fehler? ^^
Da wird sich bei der 3-fachen partiellen Integration ein Vorzeichenfehler eingeschlichen haben.
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:26 So 01.06.2008 | | Autor: | PeterR |
Okay, danke, das wars für heute.
Ich werd morgen sicher mit ln-Funktionen nerven. ^^
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