Stammfunktion der e-funktion < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:38 So 03.09.2006 | | Autor: | esa |
Hallo,
ich soll das Integral in den Grenzen 2 bis 4 für diee Funktion bestimmen.
Allerdings hab ich das noch nie mit der e-funktion gemacht (bin in eine andere Klasse gekommen), meine Lehrerin hat mir kurz was dazu erklärt, aber trotzdem sitze ich jetzt zu Hause und komme bei der Stammfunktion nur auf:
3x-3xe^-x
das kommt mir nur so schrecklich falsch vor.
Hoffentlich kann man mir hier weiterhelfen.
Vielen Dank
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:47 So 03.09.2006 | | Autor: | Disap |
> f(x) = 3-3e^-x
> Hallo,
Hallo und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich soll das Integral in den Grenzen 2 bis 4 für diee
> Funktion bestimmen.
> Allerdings hab ich das noch nie mit der e-funktion gemacht
> (bin in eine andere Klasse gekommen), meine Lehrerin hat
> mir kurz was dazu erklärt, aber trotzdem sitze ich jetzt zu
> Hause und komme bei der Stammfunktion nur auf:
> 3x-3xe^-x
> das kommt mir nur so schrecklich falsch vor.
Das ist leider nicht ganz richtig. Betrachten wir doch mal die Funktion
$f(x) = [mm] 3-3e^{-x}$
[/mm]
Wenn wir das ganze einmal ableiten, passiert folgendes:
$f'(x) = [mm] -(\red{-}3e^{-x}) [/mm] = [mm] \red{+}3e^{-x}$
[/mm]
Es ändert sich also das Vorzeichen. Es ist vergleichbar mit [mm] e^x. [/mm] Leiten wir das ab, so haben wir ja als erste Ableitung immer noch [mm] e^x. [/mm] Das ist das selbe wie [mm] e^{\red{1}x}. [/mm] Was passiert nun mit dem [mm] e^{2x}? [/mm] Hier sieht man hoffentlich gut, dass das mit Hilfe der Kettenregel abgeleitet wird und unsere Ableitung lautet [mm] \red{2}e^{2x}.
[/mm]
Nun haben wir in unserer Funktion f(x) allerdings keine 2 im Exponenten der Eulerschen Zahl stehen, sondern eine "-1"
$f(x) = [mm] 3-3e^{\red{-1}\cdot x}$
[/mm]
Leiten wir das nun drei mal ab:
[ $f(x) = [mm] 3-3e^{\red{-1}\cdot x}$ [/mm] ]
$f'(x) = [mm] \red{+}3e^{\blue{-1}\cdot x}$
[/mm]
$f''(x) = [mm] \red{-}3e^{\blue{-1}\cdot x}$
[/mm]
$f'''(x) = [mm] \red{+}3e^{\blue{-1}\cdot x}$
[/mm]
Die Beobachtung daraus ist, dass sich immer "nur" das Vorzeichen ändert. Also muss es sich auch beim Integrieren (=Aufleiten) verändern. Integriert man '3', so erhält man, wie du schon richtig erkannt hast 3x.
Unsere Stammfunktion lautet nun also:
$F(x) = [mm] 3x-(\red{-}3e^{-x})$
[/mm]
bzw.
$F(x) = [mm] 3x{+}3e^{-x}$
[/mm]
> Hoffentlich kann man mir hier weiterhelfen.
> Vielen Dank
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
Liebe Grüße
Disap
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