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| Aufgabe | Berechne das Volumen des Rotationskörpers von f(x) im Intervall [...].
[mm] f(x)=\bruch{2}{1-x} [/mm] |
Mein Ansatz zum Finden einer Stammfunktion für den Rotationskörper:
[mm] \integral{\pi*\bruch{2^2}{(1-x)^2} dx}
[/mm]
[mm] =\pi*\integral{\bruch{4}{1-2x+x^2} dx}
[/mm]
[mm] =4*\pi*\integral{(1-2x+x^2)^{-1} dx}
[/mm]
[mm] =4*\pi*[ln(1-2x+x^2)]
[/mm]
Wo liegt hier der Fehler? (Wenn ich hier die Grenzen einsetze, bekomme ich eine andere Lösung als der Taschenrechner mir beim direkten Berechnen anzeigt...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo, du machst also Rotation um die x-Achse
[mm] \pi*\integral_{a}^{b}{(f(x))^{2} dx}
[/mm]
[mm] =\pi*\integral_{a}^{b}{\bruch{4}{(1-x)^{2}}dx}
[/mm]
[mm] =4*\pi*\integral_{a}^{b}{\bruch{1}{(1-x)^{2}}dx}
[/mm]
[mm] =4*\pi*\integral_{a}^{b}{(1-x)^{-2}dx}
[/mm]
wenn du nicht sofort die Stammfunktion siehst, mache Substitution
z:=1-x
[mm] \bruch{dz}{x}=-1
[/mm]
dx=-dz
[mm] =4*\pi*\integral_{}^{}{z^{-2}*(-1)dz}
[/mm]
Steffi
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Okay, vielen Dank, habe es jetzt hinbekommen.
Eine Frage hätte ich aber noch:
Für die Stammfunktion der Funktion f(x):
Kommt hierbei folgendes heraus?
[-2*ln{1-x}]
Wenn ja, wie kann ich dann ein Integral mit einer Grenze von über 1 berechnen? Hierbei würde der Wert des ln immerhin unter 0 fallen...
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Hallo Mathepauker,
> Okay, vielen Dank, habe es jetzt hinbekommen.
> Eine Frage hätte ich aber noch:
> Für die Stammfunktion der Funktion f(x):
> Kommt hierbei folgendes heraus?
> [-2*ln{1-x}]
>
Ja.
> Wenn ja, wie kann ich dann ein Integral mit einer Grenze
> von über 1 berechnen? Hierbei würde der Wert des ln
> immerhin unter 0 fallen...
Genau genommen lautet die Stammfunktion
[mm]-2*ln\vmat{1-x}[/mm]
Gruss
MathePower
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