Stammfunktion bestimmen < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:54 Mi 06.02.2008 | | Autor: | SGEChabo |
| Aufgabe | | Man berechne eine Stammfunktion [mm] \sin [/mm] x [mm] cos^2 [/mm] x |
Ich würde da sagen dass die Stammfunktion davon einfach (- [mm] \-cos \bruch{1}{2}x^2) (\sin^2 \bruch{1}{2}x^2) (\bruch{1}{2}x^2) [/mm] + C
ist.
Aber das is glaub cih Käse oder??
Gruß
SGEChabo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:00 Mi 06.02.2008 | | Autor: | tobbi |
Moin Chabo,
wie du schon selbst gemerkt hast, ist das nicht wirklich die gesuchte Stammfunktion. Vielleicht solltest du mal ein bisschen mehr zu deinen Überlegungen posten.
Tipp: Substitution t=cos(x) wirkt bei dem Integral wahre Wunder, die Lösung ist dann fast schon trivial.
Schöne Grüße
Tobbi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:13 Mi 06.02.2008 | | Autor: | SGEChabo |
hmm hab da auhc grad gesehn dass ich da ja totalen humbuk geschrieben hab. hab mir irgendwie noch n x am ende dazu gereimt in meiner lösung...hahaha... naja wie auhc immer
is denn -cos 1/2 [mm] x^2 [/mm] die korrekte stammfunktion für sin x??
mit dem substituieren raff ich nich !! kannst du mir das n bisschen genauer erläutern? wär echt net...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:29 Mi 06.02.2008 | | Autor: | tobbi |
Aber natürlich.....
[mm] \integral{sin(x)\cdot cos^2(x) dx}
[/mm]
hier fällt auf, dass der Sinus gerade die Ableitung des Cosinus ist und dass diese ja ohnehin irgendwo auftauchen muss wegen des Quadrates am Cosinus (Kettenregel!). Daher schreit das Ding gerade zu nach geeigneter Substitution.
Sei also $t=cos(x)$ [mm] \Rightarrow [/mm] $dt=-sin(x)dx$ [mm] \gdw dx=\bruch{dt}{-sin(x)}.
[/mm]
Wenn du das jetzt einsetzt, erhälst du:
[mm] \integral{sin(x)\cdot t^2 \cdot \bruch{dt}{-sin(x)}} \stackrel{kuerzen}{=}\integral{-t^2 \cdot dt}=-\bruch{1}{3} t^3
[/mm]
Nun wird noch zurück-substituiert und man erhält:
[mm] \integral{sin(x)\cdot cos(x)^2 dx}=-\bruch{cos^3(x)}{3}
[/mm]
Hoffe das war halbwegs verständlich so...
Schöne Grüße
Tobbi
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