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| Aufgabe | Zeigen Sie, dass das folgende Vektorfeld F: A [mm] \to \IR^2 [/mm] rotationsfrei ist, d.h.: [mm] D_{i}F_{j} [/mm] = [mm] D_{j}F_{i} [/mm] , [mm] \forall [/mm] i,j
aber keine Stammfunktion in A hat.
A= {(x,y) [mm] \in \IR^{2} [/mm] | (x,y) [mm] \not= [/mm] (0,0)} |
Hallo!
Mit dem ersten Teil habe ich keine Probleme.
Nur bei dem Teil mit der Stammfunktion.
Das heißt ja, dass keine Funktion G existieren soll mit G'=F.
Nur, wie zeigt man das?
Ich habe irgendwo im Internet gelesen, dass die Rotation [mm] \not= [/mm] 0 sein soll, aber 1. haben wir das (soweit ich das sehe) nicht im Skript stehen und 2. weiß ich gar nicht, wie man die Rotation genau ausrechnet?!
Oder hat es vielleicht mit dem Gradienten was zu tun? Denn die Definition der Stammfunktion ist ja in die Definiton des Gradientenfeldes eingesponnen:
Sei A [mm] \subset \IR^{n} [/mm] offen. Ein Vektorfeld F [mm] \in C^{0} (A,\IR^{n}) [/mm] heißt Gradientenfeld, wenn es eine Funktion [mm] \gamma \in C^{1}(A) [/mm] gibt mit grad [mm] \gamma [/mm] = F. Die Funktion [mm] \gamma [/mm] heißt Stammfunktion von F.
Kann mir hier jemand helfen?
Grüßle, Lily
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Leider hast du die Funktion vergessen.
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ups! tut mir leid!
hier ist die Funktion:
F(x,y)= [mm] \vektor{\bruch{y}{x^{2}+y^{2}} +y \\ x- \bruch{x}{x^{2}+y^{2}}}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:49 So 17.06.2012 | | Autor: | chrisno |
Wenn Du die Stammfunktion suchst, dann gehst Du davon aus, dass [mm] $F(x,y)=\vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)}.
[/mm]
Also musst Du die Stammfunktionen zu den beiden Komponenten bestimmen, einmal mit x und das andere mal mit y als Variablen.
Sobald Du diese hast, wirst Du feststellen, dass es keine Funktion gibt, die die gewünschten partiellen Ableitungen hat. Damit bist Du fertig.
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Erstmal Danke!
Da ich selbst beim integrieren nicht so weit kam, hab ich das mal im Internet machen lassen:
Die Stammfunktionen von [mm] f_{x}(x,y) [/mm] und [mm] f_{y}(x,y) [/mm] sind dann:
[mm] g_{x}(x,y)=tan^{-1} \bruch{x}{y} [/mm] + xy
[mm] g_{y}(x,y)=xy-tan^{-1} \bruch{x}{y}
[/mm]
> Sobald Du diese hast, wirst Du feststellen, dass es keine
> Funktion gibt, die die gewünschten partiellen Ableitungen
> hat. Damit bist Du fertig.
Das verstehe ich nicht ganz: Die soll ich jetzt wieder ableiten und sehen, dass sie nicht das gleiche sind? Aber das wäre doch unlogisch! oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:18 So 17.06.2012 | | Autor: | chrisno |
> Erstmal Danke!
> Da ich selbst beim integrieren nicht so weit kam, hab ich
> das mal im Internet machen lassen:
> Die Stammfunktionen von [mm]f_{x}(x,y)[/mm] und [mm]f_{y}(x,y)[/mm] sind
> dann:
> [mm]g_{x}(x,y)=tan^{-1} \bruch{x}{y}[/mm] + xy
> [mm]g_{y}(x,y)=xy-tan^{-1} \bruch{x}{y}[/mm]
>
Da fehlen noch die additiven Konstanten. Das können Funktionen sein, die von der jeweils anderen Variablen abhängig sind. Also [mm]g_{x}(x,y)=arctan \left(\bruch{x}{y}\right) + xy +h(x)[/mm].
Dein Fehler ist nun, von zwei Funktionen zu reden. Es muss eine Funktion sein. Leitest Du sie nach x ab, ergibt sich da eine Ergebnis, leitest Du sei nach y ab, das andere. Deine Aufgabe ist, zu zeigen, dass es eine solche Funktion nicht geben kann.
Nachtrag: Ich habe Deine Schreibweise beibehalten. Das tiefgestellte x oder y bedeutet eigentlich, dass es sich um die Ableitungsfunktion nach dieser Variablen handelt. Von daher wäre es besser, wenn einfach nur g(x,y) da stünde. Dann gilt [mm] $F(x,y)=\vektor{g_x(x,y) \\ g_y(x,y)}.$ [/mm] Warum Du dabei das g schreiben willst, wo ich doch ein f angeboten hatte, [mm] $F(x,y)=\vektor{f_x(x,y) \\ f_y(x,y)}$, [/mm] hast Du nicht kommentiert.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:40 Mo 18.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Erstmal Danke!
> Da ich selbst beim integrieren nicht so weit kam, hab ich
> das mal im Internet machen lassen:
> Die Stammfunktionen von [mm]f_{x}(x,y)[/mm] und [mm]f_{y}(x,y)[/mm] sind
> dann:
> [mm]g_{x}(x,y)=tan^{-1} \bruch{x}{y}[/mm] + xy
> [mm]g_{y}(x,y)=xy-tan^{-1} \bruch{x}{y}[/mm]
Nein. das kann ja nicht sein. Wie sind denn diese Funktionen auf A definiert ? Z.B. im Punkt (1,0) ???
Ich würde das so machen: hätte F eine Stammfunktion auf A , so wäre das Wegintegral in A wegunabhängig
Ist also [mm] \gamma [/mm] ein geschlossener (stückweise stetig differenzierbarer ) Weg in A , so wäre
[mm] \integral_{\gamma}^{}{F(x)*dx}=0.
[/mm]
Ist das für [mm] \gamma(t)=(cos(t),sin(t), [/mm] t [mm] \in [/mm] [0,2 [mm] \pi] [/mm] der Fall ?
FRED
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> > Sobald Du diese hast, wirst Du feststellen, dass es keine
> > Funktion gibt, die die gewünschten partiellen Ableitungen
> > hat. Damit bist Du fertig.
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> Das verstehe ich nicht ganz: Die soll ich jetzt wieder
> ableiten und sehen, dass sie nicht das gleiche sind? Aber
> das wäre doch unlogisch! oder?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:25 So 24.06.2012 | | Autor: | Mathe-Lily |
ich danke euch für eure Hilfe! 
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