Stammfunktion < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:54 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
Halihalo,
ich bräuchte die Stammfunktion von [mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx}
[/mm]
Ich weiß, dass man die partielle Integration anwenden muss:
u(x)=-cosx
u'(x)=sinx
v(x)=sinx
v'(x)=cos
Es sollte dann so aussehen:
[mm] -cosx*sinx-\integral_{}^{}{cosx*-cosx dx}
[/mm]
Beim Integral muss man ja nochmal die partielle Integration anwenden:
u=sinx
u'=cos
v=-cosx
v'=-sinx
Das habe ich auch nochmal gemacht:
[mm] -cosx*sinx-[sinx*cosx-\integral_{}^{}{-sinx*sinx dx}]
[/mm]
Hier komme ich irgendwie nicht weiter. Kann es sein, dass ich mich vielleicht verrechnet habe? Und falls nicht, wie rechne ich weiter? Es sind fast so aus wie das Anfangsintegral, [mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx} [/mm] nur das minus stört mich irgendwie.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:59 Fr 14.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Halihalo,
>
> ich bräuchte die Stammfunktion von [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm]
>
> Ich weiß, dass man die partielle Integration anwenden
> muss:
> u(x)=-cosx
> u'(x)=sinx
> v(x)=sinx
> v'(x)=cos
>
> Es sollte dann so aussehen:
>
> [mm]-cosx*sinx-\integral_{}^{}{cosx*-cosx dx}[/mm]
>
> Beim Integral muss man ja nochmal die partielle Integration
> anwenden:
> u=sinx
> u'=cos
> v=-cosx
> v'=-sinx
>
> Das habe ich auch nochmal gemacht:
>
> [mm]-cosx*sinx-[sinx*cosx-\integral_{}^{}{-sinx*sinx dx}][/mm]
>
> Hier komme ich irgendwie nicht weiter. Kann es sein, dass
> ich mich vielleicht verrechnet habe? Und falls nicht, wie
> rechne ich weiter? Es sind fast so aus wie das
> Anfangsintegral, [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm] nur das minus
> stört mich irgendwie.
Das ist ja gerade der Witz dabei.
Addiere die gesamte Gleichung mit [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm],
dann steht da
2* [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm]=....
Was besseres kann dir nicht passieren.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:12 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
Dann würde dann
[mm] 2*\integral_{}^{}{sin^2xdx dx} [/mm] = -cosx*sinx-sinx*cos
das durch 2 teilen
[mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx} [/mm] = [mm] \bruch{-cosx*sinx-sinx*cosx}{2}
[/mm]
Kann man das denn noch mehr zusammenfassen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:26 Fr 14.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Dann würde dann
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{sin^2xdx dx}[/mm] = -cosx*sinx-sinx*cos
>
> das durch 2 teilen
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm] =
> [mm]\bruch{-cosx*sinx-sinx*cosx}{2}[/mm]
>
> Kann man das denn noch mehr zusammenfassen?
Ja, wenn du merkst, dass in diesem Zähler zweimal das gleiche steht.
Additionstheorem für sin(2x) wäre auch noch möglich.
Gruß Abakus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
So hab es nun so zusammengefasst:
[mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx} [/mm] = -cos*sinx
ist das so richtig?
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> So hab es nun so zusammengefasst:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm] = -cos*sinx
>
> ist das so richtig?
Nein, das ist so nicht richtig.
Poste doch Deine Rechenschritte, wie Du auf diesen Ausdruck kommst.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:46 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
Also ich hab das so gemacht (ohne jetzt der linken Seite):
[mm] \bruch{-cosx*sinx-sinx*cosx}{2}
[/mm]
[mm] -\bruch{2*(cosx*sinx)}{2}
[/mm]
-cosx*sinx
Das komische ist aber, wenn ich in einen Wert in den Taschenrechner eingebe, kommt sowohl in
[mm] \bruch{-cosx*sinx-sinx*cosx}{2} [/mm] als auch in -cosx*sinx
der selbe Wert raus.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 21:53 Fr 14.01.2011 | | Autor: | abakus |
> Also ich hab das so gemacht (ohne jetzt der linken Seite):
>
> [mm]\bruch{-cosx*sinx-sinx*cosx}{2}[/mm]
>
> [mm]-\bruch{2*(cosx*sinx)}{2}[/mm]
>
> -cosx*sinx
>
> Das komische ist aber, wenn ich in einen Wert in den
> Taschenrechner eingebe, kommt sowohl in
> [mm]\bruch{-cosx*sinx-sinx*cosx}{2}[/mm] als auch in -cosx*sinx
> der selbe Wert raus.
Was ist daran komisch?
Du hast lediglich einen Bruch mit 2 gekürzt.
Gruß Abakus
>
>
>
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:55 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
Mir ist es auch klar, dass ich den Bruch mit 2 gekürzt habe. Ich finde nur den Fehler nicht, den MathePower gemeint hat.
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> Mir ist es auch klar, dass ich den Bruch mit 2 gekürzt
> habe. Ich finde nur den Fehler nicht, den MathePower
> gemeint hat.
Differenziere Deine Stammfunktion.
Dann wirst Du sehen, daß die Stammfunktion nicht stimmt.
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:09 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
Ich habe ehrlich gesagt nicht die Nerven dazu, das Ding wieder abzuleiten. Kannst du mir denn einen Tipp geben, wo ich mich vertan habe. Ich will jetzt nicht verzweifelt an der Aufgabe sitzen....
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> Ich habe ehrlich gesagt nicht die Nerven dazu, das Ding
> wieder abzuleiten. Kannst du mir denn einen Tipp geben, wo
> ich mich vertan habe. Ich will jetzt nicht verzweifelt an
> der Aufgabe sitzen....
Du hast richtigerweise gerechnet:
[mm]\integral_{}^{}{\sin^{2}\left(x\right) \dx}=-cosx\cdot{}sinx-\integral_{}^{}{cosx\cdot{}-cosx dx} [/mm]
[mm]\gdw \integral_{}^{}{\sin^{2}\left(x\right) \dx}=-cosx\cdot{}sinx+\integral_{}^{}{\cos^{2}\left(x\right) \ dx} [/mm]
Ersetze nun [mm]\cos^{2}\left(x\right)=1-\sin^{2}\left(x\right)[/mm]
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:35 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
So ich habe das mal jetzt versucht:
[mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx} =-cosx*sinx+\integral_{}^{}{1-sin^2xdx}
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx} [/mm] = -cosx*sinx + [mm] \integral_{}^{}{1 dx} [/mm] - [mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx}
[/mm]
[mm] 2*\integral_{}^{}{sin^2x dx} [/mm] = -sinx*cosx+x
[mm] \integral_{}^{}{sin^2x dx} [/mm] = [mm] \bruch{-sinx*cosx+x}{2}
[/mm]
Ist es denn so jetzt richtig?
Ich verstehe aber einen Schritt noch nicht:
$ [mm] \cos^{2}\left(x\right)=1-\sin^{2}\left(x\right) [/mm] $
Wie bist du darauf gekommen?
|
|
|
| |
|
Hallo Crashday,
> So ich habe das mal jetzt versucht:
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx} =-cosx*sinx+\integral_{}^{}{1-sin^2xdx}[/mm]
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm] = -cosx*sinx + [mm]\integral_{}^{}{1 dx}[/mm]
> - [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm]
>
> [mm]2*\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm] = -sinx*cosx+x
>
> [mm]\integral_{}^{}{sin^2x dx}[/mm] = [mm]\bruch{-sinx*cosx+x}{2}[/mm]
>
> Ist es denn so jetzt richtig?
Ja, das ist jetzt richtig.
>
> Ich verstehe aber einen Schritt noch nicht:
> [mm]\cos^{2}\left(x\right)=1-\sin^{2}\left(x\right)[/mm]
Die Umformung resultiert aus dem trigonometrischen Pythagoras:
[mm]sin^{2}\left(x\right)+\cos^{2}\left(x\right)=1[/mm]
>
> Wie bist du darauf gekommen?
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:50 Fr 14.01.2011 | | Autor: | Crashday |
Ah okay, vielen Dank für deine Geduld :)
|
|
|
|
