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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:48 So 07.12.2008 | | Autor: | sunny435 |
| Aufgabe | Besstimme zur Funktion f eine Stammfunktion
f(x) = [mm] 3/((2x+7)^2) [/mm] |
halloo
komme bei der aufgabe nicht weiter, als ergbnis soll anscheinend -3/(4x+14) rauskommen und ich hätte jetzt raus - 3/(2x+7)
hab ich vll einen falschen rechenweg oder ist mien ergbnis richtig? mir fällt es bei brüchen schwer die stammfunktion zu bildenm, vielleicht kann mir jemand helfen danke schon mal im voraus :)
sunny
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> Besstimme zur Funktion f eine Stammfunktion
> f(x) = [mm]3/((2x+7)^2)[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> halloo
> komme bei der aufgabe nicht weiter, als ergbnis soll
> anscheinend -3/(4x+14) rauskommen und ich hätte jetzt raus
> - 3/(2x+7)
> hab ich vll einen falschen rechenweg oder ist mien ergbnis
> richtig? mir fällt es bei brüchen schwer die stammfunktion
> zu bildenm, vielleicht kann mir jemand helfen danke schon
> mal im voraus :)
> sunny
Du kannst es ganz ausführlich machen:
$ \bruch{3}{(2x+7)^2}=3*(2x+7)^{-2} $
$ 3* \integral_{}^{}{(2x+7)^{-2} dx}=3*(-\bruch{(2x+7)^{-1}}{2})=-\bruch{3}{2*(2x+7)}=-\bruch{3}{4x+14} $
Wie du siehst kommt die 2 von der inneren Ableitung! Denn wenn du das integral ableitest, erhälst du ja durch die Kettenregel aus 2x den Faktor 2. Deshalb muss das Integral noch durch 2 geteilt werden.
Allgemein gilt hier aber auch, dass du den Bruch wie 1/x^2 behandeln kannst, nur durch den Faktor a teilen musst, der als innere Ableitung beim Ableiten auftreten würde.
$ 3* \integral_{}^{}{\bruch{1}{(2x+7)^{-2}} dx}=3*(-\bruch{1}{(2x+7)*2) $
Du integrierst also den Bruch wie 1/x^2! Dabei teilst du jedoch zusätzlich noch durch die innere Ableitung, die beim Ableiten auftreten würde, also durch 2, da 2x abgeleitet 2 ergibt. Damit hast du dein Ergebnis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:13 So 07.12.2008 | | Autor: | sunny435 |
danke für die ausführliche antwort. Hab mir das auch nochmal in meinem matheheft angeguckt - Die Ableitung der Stammfunktion F(x) ergibt ja dann wieder f(x), mit meinem ergebnis komm ich dann auch wieder auf f(x), aber wenn ich F(x)= 3/(4x+14) ableite, kommt dann was anderes raus ( - [mm] 12/(4x+14^2) [/mm] )
Funktioniert das mit der Probe hier nicht?bin grad bisschen irritiert!
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> danke für die ausführliche antwort. Hab mir das auch
> nochmal in meinem matheheft angeguckt - Die Ableitung der
> Stammfunktion F(x) ergibt ja dann wieder f(x), mit meinem
> ergebnis komm ich dann auch wieder auf f(x), aber wenn ich
> F(x)= 3/(4x+14) ableite, kommt dann was anderes raus ( -
> [mm]12/(4x+14^2)[/mm] )
> Funktioniert das mit der Probe hier nicht?bin grad bisschen
> irritiert!
Natürlich funktioniert die Probe, du vergisst nur ständig die innere Ableitung! Meine Stammfunktion war schon richtig ;)
also ausführlich: (du hast übrigens oben das Minus vergessen vor der 3/dem Bruch)
$ [mm] (-\bruch{3}{2*(2x+7)})'=+\bruch{3}{2*(2x+7)^2*}*2(!) [/mm] $
Da kürzt sich also deine 2 wieder!
Dein Ergebnis mit [mm] \bruch{12}{(4x+14)^2} [/mm] stimmt auch, nur muss man hier erst ausklammern, um dann auf das ursprüngliche Ergebnis zu kommen! Wir haben ja ansich mit 2*(2x+7) gerechnet, daher ist es einfacher, auch dies abzuleiten.
$ [mm] \bruch{12}{(4x+14)^2}=\bruch{12}{16x^2+112x+196}=\bruch{3}{4x^2+28x+49}=\bruch{3}{(2x+7)^2} [/mm] $
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:39 So 14.12.2008 | | Autor: | Behind |
Moin!
Ich hänge bei einer ähnlichen Aufgabe und verstehe folgende Umformung nicht:
$ [mm] 3\cdot{} \integral_{}^{}{(2x+7)^{-2} dx}=3\cdot{}(-\bruch{(2x+7)^{-1}}{2}) [/mm] $
Ich dachte, ich frag mal hier nach anstatt ein neues Thema zu eröffnen. Würde mich über Hilfe freuen!
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> Moin!
>
> Ich hänge bei einer ähnlichen Aufgabe und verstehe folgende
> Umformung nicht:
>
> [mm]3\cdot{} \integral_{}^{}{(2x+7)^{-2} dx}=3\cdot{}(-\bruch{(2x+7)^{-1}}{2})[/mm]
>
>
> Ich dachte, ich frag mal hier nach anstatt ein neues Thema
> zu eröffnen. Würde mich über Hilfe freuen!
>
Am übersichtlichsten wird dies wohl, wenn man eine
Substitution durchführt, nämlich:
$\ u=2x+7$
[mm] u'=\bruch{du}{dx}=(2x+7)'=2
[/mm]
$\ du=2*dx$
[mm] dx=\bruch{1}{2}*du
[/mm]
Damit wird
[mm]3* \integral{(2x+7)^{-2} dx}=3*\integral{u^{-2}*\bruch{1}{2}*du}=\bruch{3}{2}*\integral{u^{-2}*du}[/mm]
Dann wird nach u integriert und schliesslich zurück-
substituiert.
LG al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:59 So 14.12.2008 | | Autor: | Behind |
Danke für deine schnelle Anwort, aber kann man das auch ohne Substiturion lösen?
Wir haben das nämlich noch nicht.
Meine Aufgabe sieht so aus: [mm] \bruch{3}{(2-x)²}
[/mm]
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> Danke für deine schnelle Anwort, aber kann man das auch
> ohne Substitution lösen?
>
> Wir haben das nämlich noch nicht.
>
> Meine Aufgabe sieht so aus: [mm]\bruch{3}{(2-x)²}[/mm]
Mit Substitution müsstest du hier u=2-x und dann dx=-du setzen.
Bei solch einfachen Fällen, wo die Substitution linear ist,
also
$\ u=a*x+b$ (***)
kannst du auch nach dem Prinzip "Versuch, Irrtum und Korrektur"
vorgehen:
[mm] $\integral \bruch{3}{(2-x)²}\ [/mm] dx\ =\ [mm] \integral 3*(2-x)^{-2}\ [/mm] dx\ =\ ?$
Versuch für eine Stammfunktion:
$\ [mm] F(x)=3*\bruch{1}{-1}*(2-x)^{-1}=-\bruch{3}{2-x}=\bruch{3}{x-2}$
[/mm]
Kontrolle durch Ableiten (dabei die Kettenregel nicht vergessen !!!)
$\ F'(x)= ........$
Dabei zeigt sich, dass zwar wieder der Integrand entsteht
(wie es sein muss), aber noch mit einem zusätzlichen
Faktor (in diesem Beispiel -1, in einem Beispiel wie (***)
ein Faktor a). Man muss deshalb die "provisorische"
Stammfunktion noch durch diesen Faktor dividieren.
Das ist das, was Adamantin weiter oben auch erklärt
hat.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 So 14.12.2008 | | Autor: | Behind |
Ich danke dir erneut, aber geht es nicht auch ohne Substitution?
Z.B. könnte man das doch auch lösen, indem man quadriert. Aber dann komm ich nicht damit klar, dass der zu quadrierende Term im Nenner steht und somit der Exponent ein negatives Vorzeichen hat...
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> Ich danke dir erneut, aber geht es nicht auch ohne
> Substitution?
ich meine, gerade gezeigt zu haben, wie man mit
"Versuch, Irrtum, Korrektur" in gewissen Fällen
ohne das Konzept der Substitution zum Ziel kom-
men kann ...
> Z.B. könnte man das doch auch lösen, indem man quadriert. ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
ich weiss nicht, was du damit genau meinst, aber
ich befürchte, dass du da auf irgendeinem Holzweg
bist ...
das müsstest du zeigen !
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:13 So 14.12.2008 | | Autor: | Behind |
So, nun bin ich gerade noch mal "meinen" Weg gegangen und mir ist aufgefallen, dass das falsch ist. Ich hab mit Brüchen was probiert, was gar nicht geht ;)
Deinen Weg kann ich jetzt nachvollziehen!
Danke vielmals!
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