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| Aufgabe | | [mm] \integral{cos^5(x)*sin(2x) dx} [/mm] |
Hallo allerseits!
Das obige Integral soll gelöst werden, aber mir fehlt scheinbar die Kreativität dazu, oder ich habe einfach zu wenig Übung. Differenzieren war leichter für mich: Bei der Integration stehe ich immer wieder da und weiß nicht weiter.Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben? ![[happy]](/images/smileys/happy.gif "[happy]")
Ich habe es mit partieller Integration versucht, aber das ganze sieht danach nicht einfacher aus(außer ich kenne wieder eines der unzähligen Theoreme der Trigonometrie nicht):
[mm] \integral{cos^5(x)*sin(2x) dx}=-\bruch{cos(2x)}{2}*cos^5(x)-\integral{5*cos^4(x)*(-sin(x))*(-\bruch{cos(2x)}{2}) dx}
[/mm]
Auch mit Substitution komme ich nicht weiter, da sich nichts wegkürzt:
cos(x)=z
sin(x)=z'
[mm] \integral{z^5*sin(2x)*\bruch{dz}{sin(x)} }
[/mm]
Vielen Dank im Voraus!! 
Gruß
Angelika
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> [mm]\integral{cos^5(x)*sin(2x) dx}[/mm]
> Hallo allerseits!
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> Das obige Integral soll gelöst werden, aber mir fehlt
> scheinbar die Kreativität dazu, oder ich habe einfach zu
> wenig Übung. Differenzieren war leichter für mich: Bei der
> Integration stehe ich immer wieder da und weiß nicht
> weiter.
Damit bist Du entschieden nicht alleine: Integrieren ist definitiv schwieriger...
>Könnte mir bitte jemand einen Tipp geben?
>
> Ich habe es mit partieller Integration versucht, aber das
> ganze sieht danach nicht einfacher aus(außer ich kenne
> wieder eines der unzähligen Theoreme der Trigonometrie
> nicht):
>
> [mm]\integral{cos^5(x)*sin(2x) dx}=-\bruch{cos(2x)}{2}*cos^5(x)-\integral{5*cos^4(x)*(-sin(x))*(-\bruch{cos(2x)}{2}) dx}[/mm]
>
> Auch mit Substitution komme ich nicht weiter, da sich
> nichts wegkürzt:
>
> cos(x)=z
>
> sin(x)=z'
>
> [mm]\integral{z^5*sin(2x)*\bruch{dz}{sin(x)} }[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus!!
Du hast vergessen zu berücksichtigen, dass [mm] $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$ [/mm] ist. Aus diesem Grunde ist die Substitution $z := [mm] \cos(x)$ [/mm] durchaus zielführend:
[mm]\int \cos^5(x)\sin(2x)\; dx=2\int\cos^6(x)\sin(x)\; dx=\ldots[/mm]
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