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Hey Leute!
Versuche grad die Stammfunktion von [mm] f(t)=\bruch{1}{1+ke^{-cnt}} [/mm] zu bilden. Weiß leider nicht wie ich die Stammfunktion von dieser Funktion lösen kann? Wie kann ich hier angehen?
Gruss
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> Versuche grad die Stammfunktion von
> [mm]f(t)=\bruch{1}{1+ke^{-cnt}}[/mm] zu bilden.
Hallo,
betrachten wir
[mm] f(t)=\bruch{1}{1+ke^{-Nt}}=\bruch{1}{1+ke^{-Nt}} [/mm] * [mm] \bruch{e^{Nt}}{e^{Nt}} =\bruch{e^{Nt}}{e^{Nt}+k},
[/mm]
und Du möchtest
[mm] \integral \bruch{e^{Nt}}{e^{Nt}+k}dt [/mm] berechen.
Ich würde nun eine Substitution mit [mm] x=e^{Nt} [/mm] durchführen, das sollte einen zum Ziel bringen.
Gruß v. Angela
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Danke für die Hilfe!
Hab ausversehen die Funktion nicht richtig aufgeschrieben.
[mm] f(t)=\bruch{n}{1+ke^{-cnt}}. [/mm] Ich denke das müsste anders substituiert werden.
Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:48 So 10.02.2008 | | Autor: | Teufel |
Hallo!
Wenn n eine Konstante ist, kannst du sie ja auch vor das Integral ziehen.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:55 So 10.02.2008 | | Autor: | defjam123 |
jep genau danke!
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danke für die Hilfe.
hab es auf diese Art versucht:
durch Substitution [mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^{N*t}}{e^{N*t}+k} dx}; e^{N*t}=x
[/mm]
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{x}{x+k} dx}
[/mm]
Hab die Integral dann auseinandergeschrieben:
[mm] \integral_{}^{}{{x}dx}=-\integral_{}^{}{{x+k} dx}
[/mm]
Mein Ergebnis:
[mm] \bruch{1}{2}x^{2}+d=-(ln(x)+k*x)
[/mm]
Ist das richtig?
Gruss
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Hallo defjam,
du hast ein Kuddelmuddel mit deinen Variablen gemacht.
Du musst sorgfältiger aufschreiben:
Du willst das Integral [mm] $\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ d\red{t}}$ [/mm] lösen mit der Substitution [mm] $x:=e^{N\cdot{}t}$
[/mm]
Bedenke, dass du auch das Differential dt durch einen Ausdruck in dx ersetzen musst
Dazu bilde [mm] $x'=\frac{dx}{dt}=N\cdot{}e^{N\cdot{}t}$, [/mm] also [mm] $dt=\frac{dx}{N\cdot{}e^{N\cdot{}t}}=\frac{dx}{N\cdot{}x}$
[/mm]
Das ergibt nun: [mm] $\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ dt}=\int{\frac{x}{x+k} \ \frac{dx}{N\cdot{}x}}=\frac{1}{N}\cdot{}\int{\frac{1}{x+k} \ dx}$
[/mm]
Vollziehe das mal in Ruhe nach und mache dann ab hier weiter...
Lieben Gruß
schachuzipus
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Danke erstmal für die HIlfe!
> Hallo defjam,
>
> du hast ein Kuddelmuddel mit deinen Variablen gemacht.
>
> Du musst sorgfältiger aufschreiben:
>
> Du willst das Integral
> [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ d\red{t}}[/mm]
> lösen mit der Substitution [mm]x:=e^{N\cdot{}t}[/mm]
>
>
> Bedenke, dass du auch das Differential dt durch einen
> Ausdruck in dx ersetzen musst
>
> Dazu bilde [mm]x'=\frac{dx}{dt}=N\cdot{}e^{N\cdot{}t}[/mm], also
Sollte ja die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+k*e^{-cnt}}. [/mm] Berechne hier aber die Stammfunktion von [mm] \bruch{1}{1+k*e^{-nt}} [/mm] Macht aber keinen Unterschied?
> [mm]dt=\frac{dx}{N\cdot{}e^{N\cdot{}t}}=\frac{dx}{N\cdot{}x}[/mm]
Den Schritt versteh ich nicht genau.
>
> Das ergibt nun: [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ dt}=\int{\frac{x}{x+k} \ \frac{dx}{N\cdot{}x}}=\frac{1}{N}\cdot{}\int{\frac{1}{x+k} \ dx}[/mm]
>
> Vollziehe das mal in Ruhe nach und mache dann ab hier
> weiter...
>
>
> Lieben Gruß
>
> schachuzipus
>
Bin dann zum Ergebnis gekommen:
[mm] \bruch{ln(x)+kx}{N}
[/mm]
Jetzt muss ich rücksubstituieren:
[mm] \bruch{ln(e^{Nt})+k*e^{N*t}}{N}
[/mm]
Könnt ich das jetzt noch vereinfachen?
Gruss
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Hallo nochmal,
also, das ist ja mal durcheinander hier 
Ich lese mir gleich nochmal den gesamten post in Ruhe durch, um den roten Faden wiederzufinden
Aber bleiben wir bei dem Integral [mm] $\int{\frac{e^{Nt}}{e^{Nt}+k} \ dt}$
[/mm]
> Danke erstmal für die HIlfe!
> > Hallo defjam,
> >
> > du hast ein Kuddelmuddel mit deinen Variablen gemacht.
> >
> > Du musst sorgfältiger aufschreiben:
> >
> > Du willst das Integral
> > [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ d\red{t}}[/mm]
> > lösen mit der Substitution [mm]x:=e^{N\cdot{}t}[/mm]
> >
> >
> > Bedenke, dass du auch das Differential dt durch einen
> > Ausdruck in dx ersetzen musst
> >
> > Dazu bilde [mm]x'=\frac{dx}{dt}=N\cdot{}e^{N\cdot{}t}[/mm], also
> Sollte ja die Stammfunktion von [mm]\bruch{1}{1+k*e^{-cnt}}.[/mm]
> Berechne hier aber die Stammfunktion von
> [mm]\bruch{1}{1+k*e^{-nt}}[/mm] Macht aber keinen Unterschied?
> >
> [mm]dt=\frac{dx}{N\cdot{}e^{N\cdot{}t}}=\frac{dx}{N\cdot{}x}[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
> Den Schritt versteh ich nicht genau.
Das ist nur umgeformt und nach dt umgestellt
wir hatten $\frac{dx}{dt}=Ne^{Nt}$
Dann $\cdot{}dt$ und $:Ne^{Nt}$ auf beiden Seiten.
Das gibt $dt=\frac{dx}{N\blue{e^{Nt}}}$
Wir hatten ja $\blue{x:=e^Nt}}$ substituiert, also gibt das $dt=\frac{dx}{N\blue{x}}$
> >
> > Das ergibt nun: [mm]\int{\frac{e^{N\cdot{}t}}{e^{N\cdot{}t}+k} \ dt}=\int{\frac{x}{x+k} \ \frac{dx}{N\cdot{}x}}=\frac{1}{N}\cdot{}\int{\frac{1}{x+k} \ dx}[/mm]
>
> >
> > Vollziehe das mal in Ruhe nach und mache dann ab hier
> > weiter...
> >
> >
> > Lieben Gruß
> >
> > schachuzipus
> >
> Bin dann zum Ergebnis gekommen:
> [mm]\bruch{ln(x)+kx}{N}[/mm]
Das ist zuviel des Guten [mm] $\int{\frac{1}{x+k} \ dx}=\ln(x+k)$ [/mm] (+ eine Integrationskonstante c)
LG
schachuzipus
>
> Jetzt muss ich rücksubstituieren:
> [mm]\bruch{ln(e^{Nt})+k*e^{N*t}}{N}[/mm]
>
> Könnt ich das jetzt noch vereinfachen?
> Gruss
>
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Danke dir!
Mein Ergbenis ist also [mm] \integral_{}^{}{\bruch{1}{1+k*e^{-cnt}} dx}=ln(e^{cnt}+k)+d, [/mm] also mit der Konstante c, die ich bei der Berechnung gar nicht einbezogen hatte.
Gruss
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Hallo deafjam,
> Danke dir!
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> Mein Ergbenis ist also
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{1}{1+k*e^{-cnt}} dx}=ln(e^{cnt}+k)+d,[/mm]
> also mit der Konstante c [mm] \blue{d}, [/mm] die ich bei der Berechnung gar
> nicht einbezogen hatte.
>
> Gruss
Sehr gut und fast ganz richtig, da fehlt nur eine Kleinigkeit.
Das [mm] $\frac{1}{N}=\frac{1}{cn}$, [/mm] das wir aus dem Integral gezogen hatten (oder war ich das ![[pfeif]](/images/smileys/pfeif.gif "[pfeif]") ) und dann nicht mehr beachtet haben, musst du noch mit berücksichtigen.
Ansonsten ist's ok!!
LG
schachuzipus
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Hallo noch einmal,
also nach Sichtung der ersten paar posts, ist doch mit Angelas Hinweis und ihrer Umformung alles klar.
setzte N:=cn, dann ist - siehe Angelas Umformung:
[mm] $\int{\frac{1}{1+ke^{-cnt}} \ dt}=\int{\frac{1}{1+ke^{-Nt}} \ dt}=\int{\frac{e^{Nt}}{e^{Nt}+k} \ dt}$
[/mm]
Welches der Integrale du nun berechnest, kannst du dir aussuchen ...
Das letztere ist ja in diesem thread durchgekaut worden ...
LG
schachuzipus
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