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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:51 Do 06.01.2005 | | Autor: | Yve |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Gesucht wird eine Stammfunktion für
[mm] f(x)=(x^3-3x)/(x^2-4)
[/mm]
Ich habe bisher keine gescheite Zerlegung, z. B. durch Polynomdivision gefunden. Mit Substitutionsregeln bin ich auch nicht weitergekommen.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:16 Do 06.01.2005 | | Autor: | Paulus |
Liebe(r) Yve
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Bitte beachte, dass wir hier ein Team von lauter freiwillige Helfern sind, die die Hilfe ohne Entgelt anbieten. Deshalb finden wir es schon als angebracht, wenigstens begrüsst zu werden!
Des Weiteren solltest du immer auch mitliefern, welche Ansätze du schon hast (konkret), damit dir wirklich gezielt geholfen werden kann.
Da du neu hier bist, kann man ja schon mal eine Ausnahmen machen.
Wenn der Grad des Zählers gleich oder grösser als der des Nenners ist, musst du die Polynomdivision ausführen, bis es der Grad des Zählers kleiner wird.
Das ergibt dann:
[mm] $\bruch{x^3-3x}{x^2-4}=x+\bruch{x}{x^2-4}$
[/mm]
Jetzt könnte man beim Bruch rechts eine Partialbruchzerlegung durchführen. Einfacher geht es aber mit folgender Regel:
[mm] $\int\bruch{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln(|f(x)|)+Const.$
[/mm]
(Ein bekanntes Beispiel dafür ist: [mm] $\int\bruch{1}{x}\, [/mm] dx = [mm] \ln(|x|)+ [/mm] Const.$)
Das kann man hier gut ausnützen, indem man den Bruch mit 2 erweitert:
[mm] $x+\bruch{x}{x^2-4}=x+\bruch{2x}{2(x^2-4)}=x+\bruch{1}{2}*\bruch{2x}{x^2-4}$
[/mm]
Jetzt hat der Bruch die gewünschte Form.
Ich hoffe, dass du jetzt ein Wenig weiter kommst. Falls nicht, und auch falls ja, dann meldest du dich bitte nochmals.
Mit lieben Grüssen
Paul
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