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Hallo:
Errechnung der Stammfunktion mit Hilfe der Quotientenregel: Hierzu hätte ich einige Fragen: Ich soll die Stammfunktion von [mm] f(x)=\bruch{5}{(x-5)^2}
[/mm]
Beginn: [mm] (\bruch{g(x)}{h(x)}= \bruch{5}{(x-5)^2}
[/mm]
[mm] (\bruch{g(x)}{(x-5)}'= \bruch{5}{(x-5)^2}
[/mm]
1. Frage, warum bleibt der Nenner bei g(x)/(x-5) enthalten und warum fehlt das ^2?
[mm] =\bruch{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)}= \bruch{g'(x)*(x-5)-g(x)*1}{(x-5)^2}
[/mm]
Für den Zähler gilt nun: a*(x-5)-ax-b=5
ax-5a-ax-b=5
-5a-b=5
Wie kommt man auf diese Gleichung und wieso kann man daraus schließen, dass [mm] F(x)=\bruch{-x}{(x-5)} [/mm] oder [mm] F(x)=\bruch{-5}{x-5}+k [/mm] ist?
Dankesch.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:11 Mo 06.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Hallo Kristien,
falls es Dich beruhigt:
Das scheint mir etwas abseits vom normalen Vorgehen zu liegen. Ich denke, dass es Deinem weiteren mathematischen Werdegang kaum behindern wird, wenn diese Frage nicht geklärt wird.
Ich habe leider nicht die Zeit das aufzudröseln. Insbesondere habe ich erst spät erkannt, dass die Ableitungsstriche bei mir als Delta in erscheinung treten.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:04 Di 07.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Kristien,
Für die "Ableitungsstrichelchen" verwendet man das senkrechte Apostroph, welches auf der (normalen deutschen) Tastatur rechts neben dem Ä, auf dem # zu finden ist. Habe das mal geändert.
Und chrisno hat Recht. Dies ist ein ungewöhnlicher Weg, der vor allem für's Training und für vertieftes Verständnis dient. Ohne ihn geht's auch. Allerdings finde ich ihn recht interessant, wenn's einen denn prinzipiell interessiert... 
Aber einiges sieht doch etwas komisch aus...
> Beginn: [mm](\bruch{g(x)}{h(x)}= \bruch{5}{(x-5)^2}[/mm]
Die einzelne Klammer am Anfang...?
> [mm](\bruch{g(x)}{(x-5)}'= \bruch{5}{(x-5)^2}[/mm]
So auch hier... Soll der ganze Bruch eingeklammert sein und das Strichelchen dahinter?
Ja, das hätte Sinn...
> 1. Frage, warum bleibt der Nenner bei g(x)/(x-5) enthalten
> und warum fehlt das ^2?
$f(x)$ ist ja die Ableitung ihrer Stammfunktion $F(x)$.
Wir (Naja: Ihr ) versuchen also sozusagen, die Quotientenregel rückwärts aufzuwickeln.
Beim Ableiten nach Quotientenregel wird der Nenner quadriert. Wenn ich also die Ableitung gegeben habe und sich da im Nenner ein Quadrat befindet, kann ich daraus schließen, dass in der Ausgangsfunktion der Nenner ähnlich aussieht, nur eben ohne das Quadrat.
Nachdem wir so darauf gekommen sind, wie das $h(x)$ in der Ausgangsgleichung ausgesehen haben muss, können wir das in das allgemeine Gerüst der Quotientenregel einsetzen:
> [mm]=\bruch{g'(x)*h(x)-g(x)*h'(x)}{h(x)}= \bruch{g'(x)*(x-5)-g(x)*1}{(x-5)^2}[/mm]
Da im Zähler der Ausgangsfunktion kein x mehr steht, kann man annehmen, dass in der Stammfunktion x auch nur in der ersten Potenz auftaucht, dass der Zähler also nach diesem Schema aufgebaut sein dürfte: $g(x)=ax+b$.
Dieses g und das resultierende g' in das Ableitungsgerüst eingesetzt führt zu
> Für den Zähler gilt nun: a*(x-5)-ax-b=5
> ax-5a-ax-b=5
> -5a-b=5
> Wie kommt man auf diese Gleichung und wieso kann man
> daraus schließen, dass [mm]F(x)=\bruch{-x}{(x-5)}[/mm] oder
> [mm]F(x)=\bruch{-5}{x-5}+k[/mm] ist?
Es sind dies nur zwei von unendlich vielen Möglichkeiten. Aus der letzten kurzen Rechnung ergibt sich ja z.B. $b=-5a-5$. Für die beiden Lösungen wurde einmal (willkürlich) b gleich null gesetzt, woraus sich $a=-1$ ergibt, also $g(x)=-1*x+0$ und in zweiten Fall wurde a gleich null gesetzt, daraus ergibt sich $b=-5$, also $g(x)=0*x-5=-5$.
Man hätte (z.B.) auch $b=5$ nehmen können und hätte dann $g(x)=-2x+5$ erhalten.
Dass das alles passt, kannst Du leicht überprüfen, indem Du diese jeweilgen Stammfunktionen ableitest.
Aber mir gefällt nicht, dass nach dieser Argumentation letztlich ein beliebiger Faktor vor das x geraten kann, irgendwas muss da noch faul sein... ![[kopfkratz2]](/images/smileys/kopfkratz2.gif "[kopfkratz2]")
Schöne Grüße
ardik
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:33 Mi 08.11.2006 | | Autor: | chrisno |
Der "Faktor" vor dem x macht kein Problem:
Auch wenn man (ich) es nicht so erkennt, die Funktionen unterscheiden sich alle nur durch eine additive Konstante.
$b= -5*a -5$ einsetzen ergibt
$g(x) = a*x + b = a*x -5*a -5$ damit
$F(x) = [mm] \bruch{g(x)}{h(x)} [/mm] = [mm] \bruch{a*x -5*a -5}{x-5} [/mm] = [mm] \bruch{a*(x -5) -5}{x-5} [/mm] = a + [mm] \bruch{-5}{x-5}$.
[/mm]
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:32 Do 09.11.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo chrisno,
Auf die Idee, den Faktor auf diese Weise los zu werden, bin ich nicht gekommen...
Danke für den Hinweis!
![[hut]](/images/smileys/hut.gif "[hut]")
Schöne Grüße
ardik
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