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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:00 So 15.10.2006 | | Autor: | Lisa_88 |
| Aufgabe | Überprüfe ob F eine Stammfunktion von f ist!
f(x)= sin(x)* cos(x); F (x)=(sin(x))² |
Ich weiß schon das F nicht die Stammfunktion ist! Habe es mit dem GTR berechnet aber ich weiß nicht wie die richtige Stammfunkion F von f ist! Wie rechne ich die aus? Ich weiß nur wie man das rechnet wenn es heißt f(x)=g(x)+h(x)!
Ich weiß nur wie es geht wenn es "plus" heißt aber nicht wie es geht wenn es "mal" heißt! Wer kann mir helfen? Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Lisa_88,
> Überprüfe ob F eine Stammfunktion von f ist!
> f(x)= sin(x)* cos(x); F (x)=(sin(x))²
> Ich weiß schon das F nicht die Stammfunktion ist! Habe es
> mit dem GTR berechnet aber ich weiß nicht wie die richtige
> Stammfunkion F von f ist! Wie rechne ich die aus? Ich weiß
> nur wie man das rechnet wenn es heißt f(x)=g(x)+h(x)!
> Ich weiß nur wie es geht wenn es "plus" heißt aber nicht
> wie es geht wenn es "mal" heißt! Wer kann mir helfen?
Wenn du [mm]F[/mm] ableitest, so erhälst du [mm]2\sin x \cos x = 2f(x)[/mm]. Es gilt also um es nochmal deutlich zu machen: [mm]F'(x) = 2f(x)[/mm] und jetzt erinnere dich an den Hauptsatz der Integral- und Differentialrechnung...
Viele Grüße
Karl
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:00 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Hey Lisa!
Ich zeig dir mal ganz allgemein, wie man das machen muss.
Dazu sei irgendeine Funktion F(x) gegeben. Sie hat folgendes Aussehen:
F(x) = v(u(x))
Du musst dir das so vorstellen: Zuerst wird das x in die Funktion u(x) eingesetzt. Den Wert, den du erhalten hast, setzt du als neues x in die Funktion v(x) ein.
Du hast also die Funktion der Funktion.
Hier ein Beispiel:
F(x) = [mm] (x^{2} [/mm] + [mm] 4)^{2}
[/mm]
Siehst du die beiden Teilfunktionen?
Die erste, u(x) ist [mm] x^{2} [/mm] + 4, die zweite [mm] x^{2}
[/mm]
Denn am Anfang ist das x, dann wird daraus [mm] x_{2} [/mm] + 4. Diesen Wert setzen wir als neues x in die zweite Funktion ein und die muss [mm] x^{2} [/mm] sein, denn dann erhalten wir: [mm] (x_{2} [/mm] + [mm] 4)^{2}
[/mm]
Bei deinem Beispiel ist
F(x) = (sin [mm] x)^{2}
[/mm]
Wie sehen also u(x) und v(x) aus?
u(x) = sin x und v(x) = [mm] x^{2}
[/mm]
Und jetzt fragst du dich sicher, für was wir das brauchen? Nun, wenn eine Funktion F(x) so zusammengesetzt ist, wie du gesehen hast, dann gilt für ihre Ableitung f(x):
F(x) = v(u(x))
f(x) = u'(x) * v'(u(x))
Hierzu ein kleiner Merksatz: Innere Ableitung mal äussere Ableitung! Man nennt diese Regel auch Kettenregel. Merk dir die!
Kommen wir zurück zu deiner Funktion. Ihre Ableitung ist also:
F'(x) = f(x) = cos x * 2 * sin x
Vielleicht hast du den hinteren Teil nicht verstanden. Wenn du [mm] x^{2} [/mm] ableitest, gibt das bekanntlich 2 * x.
Aber für dieses x musst du dann sin x einsetzen. Deshalb sieht die Ableitung wie oben aus.
Sorry, hab grad gesehen, dass ich nur erklärt habe, wie man überprüfen kann, ob die Ableitung von F(x) auch wirklich f(x) ergibt. Aber du hast ja schon gewust, das das nicht stimmt und suchtest nach der richtigen Stammfunktion durch Integration.
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| Status: |
(Antwort) noch nicht fertig  | | Datum: | 15:20 So 15.10.2006 | | Autor: | jackiechan |
Habe mich schon mit einer ähnlichen Aufgabe auseinandergesetzt.
Schau mal in den Bericht über partielle Integration rein.
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