Stammfunkt. vs. Integralfunkt. < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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Servus und hallo!
Ich hab ein kleines Verständnisproblem.
Jede Integralfunktion einer Funktion f ist ja bekanntlich eine Stammfunktion zu f.
Nur ist nicht jede Stammfunktion zu f gleichzeitig eine Integralfunktion zu f.
Wie man das rechnerisch feststellt ist mir klar.
Nur, wie muss man sich das vorstellen?
Als Beispiel:
F(t) = t²/4 + 5
f(t) = t/2
[mm] \integral_{a}^{x}{f(t) dt}=x²/4-a²/4
[/mm]
hier gibt es also kein a, sodass die Integralfunktion gleich der Stammfunktion wäre.
Wie stellt man sich das graphisch vor?
Danke für die Antwort
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Hi, Jo,
> Ich hab ein kleines Verständnisproblem.
> Jede Integralfunktion einer Funktion f ist ja bekanntlich
> eine Stammfunktion zu f.
> Nur ist nicht jede Stammfunktion zu f gleichzeitig eine
> Integralfunktion zu f.
> Wie man das rechnerisch feststellt ist mir klar.
> Nur, wie muss man sich das vorstellen?
>
> Als Beispiel:
> F(t) = t²/4 + 5
> f(t) = t/2
> [mm]\integral_{a}^{x}{f(t) dt}[/mm] = x²/4 - a²/4
So wie Du das schreibst, ist das aber weder Stamm- noch Integralfunktion zu f, denn Dein f hat als unabhängige Variable den Buchstaben t, die Integralfunktion aber das x.
Funktion und Stammfunktion müssen aber wenigstens DIESELBE VARIABLE aufweisen!
Daher: f(x) = [mm] \bruch{x}{2}
[/mm]
F(x) = [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] + 5
> hier gibt es also kein a, sodass die Integralfunktion
> gleich der Stammfunktion wäre.
> Wie stellt man sich das graphisch vor?
Die Stammfunktionen Deiner Funktion f haben ja folgendes Aussehen:
[mm] F_{c}(x) [/mm] = [mm] \bruch{x^{2}}{4} [/mm] + c
Das ergibt graphisch eine Menge von Parabeln, die im KoSy gegeneinander nach oben oder unten verschoben sind.
Diejenigen Parabeln, die die x-Achse schneiden oder berühren,
also diejenigen, die mindestens 1 Nullstelle haben,
sind GLEICHZEITIG Graphen von INTEGRALFUNKTIONEN.
Diejenigen aber, die vollständig oberhalb der x-Achse liegen und daher keine Nullstelle aufweisen, sind NUR Graphen von Stammfunktionen, aber NICHT von Integralfunktionen.
MERKE: Jede Integralfunktion hat innerhalb der Definitionsmenge mindestens 1 Nullstelle!
mfG!
Zwerglein
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