Stammfkt. durch Integration < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 Di 29.01.2013 | | Autor: | Susu2 |
| Aufgabe | Die Funktion f(t)= [mm] \bruch{e^t}{(1+e^t)^2} [/mm] ist gegeben.
Leiten Sie durch Integration her, dass F mit der Funktionsgleichung
[mm] F(t)=\bruch{-1}{1+e^t}
[/mm]
eine Stammfunktion von f ist. |
Hallo Leute,
mein Problem ist jetzt, nach welchen Kriterien ich entscheiden soll, ob ich nun durch Substitution oder Partieller Inegration integriere.
Wäre super, wenn mir das einer erklären könnte.
MfG
Susu2
(Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.)
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Hallo,
> Die Funktion f(t)= [mm]\bruch{e^t}{(1+e^t)^2}[/mm] ist gegeben.
>
> Leiten Sie durch Integration her, dass F mit der
> Funktionsgleichung
> [mm]F(t)=\bruch{-1}{1+e^t}[/mm]
> eine Stammfunktion von f ist.
> Hallo Leute,
> mein Problem ist jetzt, nach welchen Kriterien ich
> entscheiden soll, ob ich nun durch Substitution oder
> Partieller Inegration integriere.
>
> Wäre super, wenn mir das einer erklären könnte.
Man muss es immer wieder sagen: da gibt es keine eindeutigen Kriterien. Es braucht Erfahrung, Intuition, und einige Fälle gibt es schon, wo eine der Methoden vermutlich Mittel der Wahl ist, bzw. es gibt Integranden, wo man sagen kann, dass es mit Substitution auf jeden Fall klappt.
Hier ist es so, dass bei der Substitution
[mm] z=1+e^t
[/mm]
beim Ableiten der Zähler herauskommt. Also kürzt sich das [mm] e^t [/mm] beim Substituieren des Differenzials heraus, was angesichts des einfachen Nenners dann garantiert, dass man per Substitution eine gewchlossene Stammfunktion findet (abgesehen davon, dass man deren Existenz hier ja schon kennt).
Gruß, Diophant
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:40 Di 29.01.2013 | | Autor: | Susu2 |
Vielen Danke für deine Hilfe,
aber wenn ich das ganze jetzt so ausrechne:
[mm] z(x)=1+e^t, [/mm] z'(x)= [mm] e^t
[/mm]
dann löse ich nach dx auf : [mm] \bruch{dz}{dx}=e^t
[/mm]
[mm] \bruch{dz}{e^t}=dx
[/mm]
das setze ich dan in das Integral ein:
[mm] \integral_{}^{}{\bruch{e^t}{z^2}*\bruch{dz}{e^t}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^2}dz}=\integral_{}^{}{z^-2 dz}=\integral_{}^{}{-2*z^-1}
[/mm]
dann setzte ich z wieder ein: [mm] \integral_{}^{}{-2*(1+e^t)^-1}=\integral_{}^{}{\bruch{-2}{(1+e^t)}}
[/mm]
bekomme ich im Zähler eine -2 raus, wo liegt mein Fehler?
MfG
Susu2
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:51 Di 29.01.2013 | | Autor: | abakus |
> Vielen Danke für deine Hilfe,
> aber wenn ich das ganze jetzt so ausrechne:
>
> [mm]z(x)=1+e^t,[/mm] z'(x)= [mm]e^t[/mm]
> dann löse ich nach dx auf : [mm]\bruch{dz}{dx}=e^t[/mm]
>
> [mm]\bruch{dz}{e^t}=dx[/mm]
>
> das setze ich dan in das Integral ein:
>
> [mm]\integral_{}^{}{\bruch{e^t}{z^2}*\bruch{dz}{e^t}}=\integral_{}^{}{\bruch{1}{z^2}dz}=\integral_{}^{}{z^-2 dz}=\integral_{}^{}{-2*z^-1}[/mm]
Hallo,
erstens darf im letzten Term kein Integralzeichen mehr stehen, und zweitens hat du die Integrationsregel für Potenzfunktionen nicht richtig angewendet.
Eine Stammfunktion von [mm]x^n[/mm] ist [mm]\frac{x^{n+1}}{n+1}}[/mm].
Eine Stammfunktion von [mm]z^{-2}[/mm] ist also [mm]\frac{z^{-2+1}}{-2+1}}[/mm].
Gruß Abakus
>
> dann setzte ich z wieder ein:
> [mm]\integral_{}^{}{-2*(1+e^t)^-1}=\integral_{}^{}{\bruch{-2}{(1+e^t)}}[/mm]
>
> bekomme ich im Zähler eine -2 raus, wo liegt mein Fehler?
>
> MfG
> Susu2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 Di 29.01.2013 | | Autor: | Susu2 |
Ups, da hast du Recht :)
Dankeeee
MfG
Susu
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