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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:29 Do 17.02.2011 | | Autor: | Salino |
| Aufgabe | x'=x(x-2)
a) Bestimmen sie die stationären Lösungen der skalaran DGL
b) Bestimmen sie die Stabilitätseigenschaften der stationären Punkte im Sinne von Lyapunov
c) Beschreiben sie angang der DGL das Langzeitverhalten für die Lösungen in Abhängigkeit des Anfangswertes [mm] x(0)=x_0 [/mm] |
a) So zunächst habe ich einfach die Lösung der DGL bestimmt. Über die Bernoulli-Methode und Substitution bin ich recht schnell auf folgendes gekommen:
[mm] x(t)=\bruch{1}{c*e^2^t-\bruch{1}{2}}
[/mm]
Das stimmt so weit denke ich. Dann jedoch ist mir das Wort "stationär" aufgefallen und ich weiss nicht so recht was das bedeutet. Eine kurze Recherce ergab [mm] \bruch{dx}{dt}=0 [/mm] - also x=0 und x=2!
Ist das richtig, dass die stationren Lösungen hier einfach Konstanten sind?
b) So hier habe ich zunächst die Jacobi Matrix berechnet. In diesem Fall einfach die partielle Ableitung nach x von f(x)=x(x-2)
D(f(x))=2x-2
D(f(0))=-2 und D(f(2))=2
So beim nächsten Schritt bin ich mir Absolut unsicher:
Demnach sind -2 und 2 die "Eigenwerte"! Woraus für die Stabilität folgt für x=0 ist eine STABILE Lösung und x=2 eine INSTABILE Lösung.
c) So weit so gut aber diese Teilaufgabe hat mich jetzt völlig durcheinander gebracht.
Hier habe ich jetzt wieder die Lösung die genommen die ich zunächst bei a) berechnete.
[mm] x(t)=\bruch{1}{c*e^2^t-\bruch{1}{2}}
[/mm]
und mit [mm] x(0)=x_0 [/mm] bestimmt: [mm] c=\bruch{1}{x_0}+\bruch{1}{2}
[/mm]
Aber meines erachtens (abgesehen von [mm] x_0=0) [/mm] geht das ganze doch immer gegen 0 für große t? Also macht die ganze aufgabe doch wenig Sinn....
Und das mit den stationären Lösungen, die Konstanten zu sein schein verstehe ich in diesem Zusammenhang auch nicht.
Wäre super wenn da mal jemand drübersehen könnte =)
Gruss
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Hallo Salino,
> x'=x(x-2)
> a) Bestimmen sie die stationären Lösungen der skalaran
> DGL
> b) Bestimmen sie die Stabilitätseigenschaften der
> stationären Punkte im Sinne von Lyapunov
> c) Beschreiben sie angang der DGL das Langzeitverhalten
> für die Lösungen in Abhängigkeit des Anfangswertes
> [mm]x(0)=x_0[/mm]
> a) So zunächst habe ich einfach die Lösung der DGL
> bestimmt. Über die Bernoulli-Methode und Substitution bin
> ich recht schnell auf folgendes gekommen:
> [mm]x(t)=\bruch{1}{c*e^2^t-\bruch{1}{2}}[/mm]
Diese Lösung erfüllt die obige DGL nicht.
Die korrekte Lösung lautet:
[mm]x(t)=\blue{-}\bruch{1}{c*e^{2t}-\bruch{1}{2}}=\bruch{1}{\bruch{1}{2}-c*e^{2t}}[/mm]
> Das stimmt so weit denke ich. Dann jedoch ist mir das Wort
> "stationär" aufgefallen und ich weiss nicht so recht was
> das bedeutet. Eine kurze Recherce ergab [mm]\bruch{dx}{dt}=0[/mm] -
> also x=0 und x=2!
> Ist das richtig, dass die stationren Lösungen hier einfach
> Konstanten sind?
Ja, das ist richtig.
>
> b) So hier habe ich zunächst die Jacobi Matrix berechnet.
> In diesem Fall einfach die partielle Ableitung nach x von
> f(x)=x(x-2)
>
> D(f(x))=2x-2
>
> D(f(0))=-2 und D(f(2))=2
> So beim nächsten Schritt bin ich mir Absolut unsicher:
> Demnach sind -2 und 2 die "Eigenwerte"! Woraus für die
> Stabilität folgt für x=0 ist eine STABILE Lösung und
> x=2 eine INSTABILE Lösung.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> c) So weit so gut aber diese Teilaufgabe hat mich jetzt
> völlig durcheinander gebracht.
> Hier habe ich jetzt wieder die Lösung die genommen die
> ich zunächst bei a) berechnete.
> [mm]x(t)=\bruch{1}{c*e^2^t-\bruch{1}{2}}[/mm]
> und mit [mm]x(0)=x_0[/mm] bestimmt: [mm]c=\bruch{1}{x_0}+\bruch{1}{2}[/mm]
> Aber meines erachtens (abgesehen von [mm]x_0=0)[/mm] geht das ganze
> doch immer gegen 0 für große t? Also macht die ganze
> aufgabe doch wenig Sinn....
> Und das mit den stationären Lösungen, die Konstanten zu
> sein schein verstehe ich in diesem Zusammenhang auch
> nicht.
>
> Wäre super wenn da mal jemand drübersehen könnte =)
>
> Gruss
>
Gruss
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