Stabilität, abh. von Daten < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 20:56 Fr 11.02.2011 | | Autor: | moerni |
Hallo.
Ich habe ein paar Verständnisfragen zu den Themen "Stabilität" und "Abhängigkeit von den Daten" bei partiellen Differentialgleichungen.
1. Stabilität.
Dazu haben wir bislang keine formale Definition eingeführt. Aus den gewöhnlichen Dgl weiß ich, was Stabilität bedeutet, nämlich: eine Lösung eines AWP heißt stabil, wenn eine kleine Änderung an den Anfangsdaten nur eine kleine Änderung an der Lösung bewirkt. Formal hatten wir da ein [mm] \epsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Kriterium.
Wie siehts bei den PDGL aus? Gibts da eine formale Definition? Wir hatten dazu in der Vorlesung folgendes notiert: "Das ARWP der Rückwärtswärmeleitungsgleichung ist in folgendem Sinne instabil: Zu allen [mm] \epsilon, [/mm] M,T existiert eine Funktion f: [0,1] [mm] \to \mathbb{R} [/mm] mit [mm] \parallel [/mm] f [mm] \parallel_\infty [/mm] = [mm] \epsilon [/mm] derart, dass die zugehörige Lösung u(t,x) des ARWPs die Ungleichung
[mm] \parallel [/mm] u(T, . ) [mm] \parallel_\infty \geq [/mm] M erfüllt." wobei: u(0,x)=f(x) war.
Wie ist das zu verstehen? Was sagt mir das?
2. Stetige Abhängigkeit einer Lösung von den Daten.
Das ist ein Kriterium für die Wohlgestelltheit eines AWPs. Definition: [mm] \forall [/mm] t > 0 [mm] \exists c_t [/mm] > 0: [mm] \parallel [/mm] u(t) [mm] \parallel \leq c_t \parallel [/mm] x [mm] \parallel [/mm] (für alle x im Definitionsbereich).
Wie kann ich mir das anschaulich vorstellen? Was sagt diese Definition aus?
Gibt es einen Zusammenhang zwischen Stabilität und Abh. von den Daten?
Über eine Antwort würde ich mich sehr freuen
lg moerni
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:20 Di 15.02.2011 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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