Stabiles System < Elektrotechnik < Ingenieurwiss. < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mi 28.09.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Ich muss [mm] v_{1} [/mm] so bestimmen, dass ein stabiles System entsteht.
H(p) = [mm] \frac{3}{p^{2}+p-2+3v_{1}} [/mm] |
Ein System ist dann stabil, wenn die Nullstellen des Zählerpolynoms reel und kleiner gleich 0 sind.
http://de.wikipedia.org/wiki/Grenzstabilit%C3%A4t
Laut Musterlösung muss hierfür [mm] v_{1} [/mm] > [mm] \frac{2}{3} [/mm] sein.
Dann bekommt man für p1 = 0 und p2 = -1.
Das stimmt auch.
Aber wie kommt man auf diese Lösung?
Ich bekomme was anderes:
[mm] 0=p^{2}+p-2+3v_{1}
[/mm]
PQ-Formel:
[mm] p_{1,2} [/mm] = [mm] -\frac{1}{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{4} -(-2+3v_{1}) }
[/mm]
= [mm] -\frac{1}{2} \pm \sqrt{ \frac{1}{4} +2-3v_{1} }
[/mm]
= [mm] -\frac{1}{2} \pm \sqrt{ \frac{9}{4} -3v_{1} }
[/mm]
Damit es eine reelle Lösung gibt muss der Radikand [mm] \ge [/mm] 0 sein.
[mm] \frac{9}{4} -3v_{1} \ge [/mm] 0 => [mm] v_{1} \ge \frac{3}{4}
[/mm]
Für [mm] v_{1} \ge \frac{3}{4} [/mm] gibt es schonmal reelle Lösungen.
Das Problem ist jetzt, dass eine Lösung positiv ist.
D.h. ich muss mein [mm] v_{1} [/mm] nochmal anpassen.
Aber wie komme ich auf die Musterlösung?
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:14 Mi 28.09.2011 | | Autor: | GvC |
Irgendwie hast Du die Stabilitätsbedingung noch nicht richtig erfasst, denn
1. handelt es sich nicht um die Nullstellen des Zählerpolynoms, sondern um die des Nennerpolynoms, also um die Polstellen der Übertragungsfunktion,
2. müssen die Polstellen nicht notwendigerweise reell sein, sondern müssen nur einen negativen Realteil haben.
Laut Deiner Lösung nach p-q-Formel hast Du wegen des zweifachen Vorzeichens der Wurzel auch zwei Polstellen. Dabei ist die Lösung mit negativem Vorzeichen vollkommen unkritisch, da Du in jedem Fall, egal ob die Wurzel reell oder imaginär wird, einen negativen Realteil erhältst. Kritisch ist dagegen die Polstelle, die sich aus dem positiven vorzeichen der Wurzel ergibt. Denn laut Stabilitätsbedingung darf die Wurzel nicht größer als 1/2 sein, sonst wäre die Polstelle positiv. D.h. der Radikand muss kleiner oder gleich 1/4 sein (kann auch bis ins negativ Unendliche gehen) und demzufolge
[mm]v_1\geq \frac{2}{3}[/mm]
v1 kann beliebig groß sein, wenn nur die genannte Bedingung erfüllt ist.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:58 Mi 28.09.2011 | | Autor: | zoj |
OK, habs verstanden!
Vielen Dank für die Erklärung!
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