Spur und Produkttopologie < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] $(I,\preceq)$ [/mm] eine gerichtete Menge und sei [mm] $(X_{i}, T_{i})$ [/mm] , i [mm] \in [/mm] I , eine Familie top. Räume. Für je zwei Indizes i,j [mm] \in [/mm] I mit $i [mm] \preceq [/mm] j$ sei [mm] f_{i}^{j}:X_{j} \to X_{i} [/mm] eine stetige Abb. , sodass [mm] f_{i}^{i} [/mm] = [mm] id_{X} [/mm] , i [mm] \in [/mm] I und [mm] f_{i}^{k} \circ f_{k}^{i} =f_{i}^{j} [/mm] , i [mm] \preceq [/mm] k [mm] \preceq [/mm] j.
Bezeichne mit [mm] \pi_{j} [/mm] : [mm] \produkt_{i \in I}X_{i} \to X_{j} [/mm] , j [mm] \in [/mm] I die kanonische Projektion des direkten Produktes auf seine j-te Komponente. Wir definieren
[mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i} [/mm] := [mm] \{(x_{i})_{i \in I} \in \produkt_{i \in I}X_{i} :f_{i}^{j}(x_{j}) = x_{i} , i \preceq j \}.
[/mm]
[mm] \pi_{j}^{\sim} [/mm] bezeichne die Einschränkung von [mm] \pi_{j} [/mm] auf [mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i} [/mm] und mit [mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i} [/mm] bezeichne man die initiale Topologie auf [mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i} [/mm] bzgl. der Familie [mm] \{ \pi_{j}^{\sim} : i \in I \} [/mm] von Abbildungen.
Zeige:
1) Die Topologie [mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i} [/mm] ist die Spurtopologie auf [mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i} [/mm] von der Produkttopologie [mm] \produkt_{i \in I}T_{i} [/mm] auf [mm] \produkt_{i \in I}X_{i} [/mm]
2) Sind alle Räume [mm] (X_{i},T_{i}) [/mm] Hausdorff, so ist [mm] \limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i} [/mm] ein abg. Teilraum von [mm] \produkt_{i \in I}X_{i} [/mm] |
Hallo,
Also ich würde gerne Ansätze wie bei den letzten Beispielen posten... aber mir fehlt hier mal jegliche Idee.
Ich bitte mir eventuell ein paar Tipps zu geben.
Lg und vielen Dank
Peter_123
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:35 Mi 29.10.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Hat dazu irgendwer eine Idee?
Ich kann mit einem 'topologischen Limes' echt nichts anfangen...
danke für jede Hilfe.
Lg Peter
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:53 Do 30.10.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter_123!
> Sei [mm](I,\preceq)[/mm] eine gerichtete Menge und sei [mm](X_{i}, T_{i})[/mm]
> , i [mm]\in[/mm] I , eine Familie top. Räume. Für je zwei Indizes
> i,j [mm]\in[/mm] I mit [mm]i \preceq j[/mm] sei [mm]f_{i}^{j}:X_{j} \to X_{i}[/mm]
> eine stetige Abb. , sodass [mm]f_{i}^{i}[/mm] = [mm]id_{X}[/mm] , i [mm]\in[/mm] I und
> [mm]f_{i}^{k} \circ f_{k}^{i} =f_{i}^{j}[/mm] , i [mm]\preceq[/mm] k [mm]\preceq[/mm]
> j.
> Bezeichne mit [mm]\pi_{j}[/mm] : [mm]\produkt_{i \in I}X_{i} \to X_{j}[/mm] ,
> j [mm]\in[/mm] I die kanonische Projektion des direkten Produktes
> auf seine j-te Komponente. Wir definieren
> [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] := [mm]\{(x_{i})_{i \in I} \in \produkt_{i \in I}X_{i} :f_{i}^{j}(x_{j}) = x_{i} , i \preceq j \}.[/mm]
>
> [mm]\pi_{j}^{\sim}[/mm] bezeichne die Einschränkung von [mm]\pi_{j}[/mm] auf
> [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] und mit
> [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm] bezeichne man die
> initiale Topologie auf [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm]
> bzgl. der Familie [mm]\{ \pi_{j}^{\sim} : i \in I \}[/mm] von
> Abbildungen.
>
> Zeige:
> 1) Die Topologie [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm] ist
> die Spurtopologie auf [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] von
> der Produkttopologie [mm]\produkt_{i \in I}T_{i}[/mm] auf
> [mm]\produkt_{i \in I}X_{i}[/mm]
Für diese Teilaufgabe kannst du im Prinzip [mm] $\preceq$ [/mm] und die [mm] $f_i^j$ [/mm] vergessen:
Sei [mm] $X:=\prod_{i\in I}X_i$, $T_X:=\prod_{i\in I}$, $Y:=\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}$, $T_Y:=$die [/mm] Spurtopologie von [mm] $T_X$ [/mm] auf $Y$, [mm] $T_Y^\sim:=\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $T_Y^\sim=T_Y$.
[/mm]
Es genügt dazu zu wissen:
$I$ ist eine Menge.
Für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ ist [mm] $(X_i,T_i)$ [/mm] ein topologischer Raum.
$X$ ist eine Menge.
Für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ ist [mm] $\pi_i\colon X\to X_i$ [/mm] eine Abbildung.
[mm] $T_X$ [/mm] ist die Initialtopologie der [mm] $\pi_i,i\in [/mm] I$.
$Y$ ist eine Teilmenge von $X$.
[mm] $T_Y$ [/mm] ist die Spurtopologie von [mm] $T_X$ [/mm] auf $Y$.
Für jedes [mm] $i\in [/mm] I$ ist [mm] $\pi_i^\sim=\pi|_Y\colon Y\to X_i$.
[/mm]
[mm] $T_Y^\sim$ [/mm] ist die Initialtopologie der [mm] $\pi_i^\sim,i\in [/mm] I$.
Zeige nun unter diesen Voraussetzungen [mm] $T_Y^\sim=T_Y$, [/mm] indem du beide Inklusionen [mm] $\subseteq$ [/mm] und [mm] $\supseteq$ [/mm] nacheinander nachweist.
> 2) Sind alle Räume [mm](X_{i},T_{i})[/mm] Hausdorff, so ist
> [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] ein abg. Teilraum von
> [mm]\produkt_{i \in I}X_{i}[/mm]
Zu zeigen ist, dass
[mm] $U:=\left(\prod_{i\in I}X_i\right)\setminus\left(\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i\right)$
eine offene Teilmenge von $\prod_{i\in I}X_i$ ist.
Es gilt
$U=\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;\exists j,k\in I\text{ mit }j\preceq k\colon\blue\ldots\not=\blue\ldots\}=\bigcup_{\substack{j,k\in I\\j\preceq k}}\underbrace{\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;\blue\ldots\not=\blue\ldots\}}_{=:U_{jk}}$
(Ersetze die blauen Pünktchen passend.).
Es genügt also zu zeigen, dass die $U_{jk}$ offen in $\prod_{i\in I}X_i$ sind.
Seien also $j,k\in I$.
In der Definition von $U_{jk}$ taucht eine Ungleichheit von Elementen von $X_j$ auf.
Das schreit danach, die Hausdorff-Eigenschaft von $X_j$ ins Spiel zu bringen:
Es existieren zu allen $y,z\in X_j$ mit $y\not=z$ gewisse offene Mengen $V_{y,z},W_{y,z}\subseteq X_j$ mit $\blue\ldots$.
Stelle nun mithilfe der $V_{y,z}$ und $W_{y,z}$ die Menge $U_{jk}$ dar als Vereinigung über gewisse Mengen $U_{jk}^{yz}$ für $y,z\in X_j$ mit $y\not=z$.
Es genügt dann zu zeigen, dass die Mengen $U_{jk}^{yz}$ offen sind.
Für diese Aufgaben braucht man gar kein so gutes Verständnis des Limes.
Dennoch eine Verständnis-Hilfe:
Wir betrachten den Spezialfall $(I,\preceq)=(\IN,\le)$, wobei $\le$ die gewöhnliche Ordnung der natürlichen Zahlen bezeichne.
(Die 0 sei im Folgenden keine natürliche Zahl.)
Dann haben wir folgendes Diagramm:
$X_1\xleftarrow{f_1^2}X_2\xleftarrow{f_2^3}X_3\xleftarrow{f_3^4}\ldots$.
Z.B. die Abbildung $f_1^4$ ist einfach die Komposition der Abbildungen $f_3^4$, $f_2^3$ und $f_1^2$.
Den Limes $\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i$ stellt man sich in der Grafik am besten rechts vor:
$X_1\xleftarrow{f_1^2}X_2\xleftarrow{f_2^3}X_3\xleftarrow{f_3^4}\ldots\xleftarrow{\pi_j^\sim}\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i$.
Viele Grüße
Tobias
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:36 Sa 01.11.2014 | | Autor: | Peter_123 |
Hallo Tobias,
Danke für deine ausführliche Antwort - ich versuche mich mal gleich dran.7
Lg Peter
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> Hallo Peter_123!
>
>
> > Sei [mm](I,\preceq)[/mm] eine gerichtete Menge und sei [mm](X_{i}, T_{i})[/mm]
> > , i [mm]\in[/mm] I , eine Familie top. Räume. Für je zwei Indizes
> > i,j [mm]\in[/mm] I mit [mm]i \preceq j[/mm] sei [mm]f_{i}^{j}:X_{j} \to X_{i}[/mm]
> > eine stetige Abb. , sodass [mm]f_{i}^{i}[/mm] = [mm]id_{X}[/mm] , i [mm]\in[/mm] I und
> > [mm]f_{i}^{k} \circ f_{k}^{i} =f_{i}^{j}[/mm] , i [mm]\preceq[/mm] k [mm]\preceq[/mm]
> > j.
> > Bezeichne mit [mm]\pi_{j}[/mm] : [mm]\produkt_{i \in I}X_{i} \to X_{j}[/mm] ,
> > j [mm]\in[/mm] I die kanonische Projektion des direkten Produktes
> > auf seine j-te Komponente. Wir definieren
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] := [mm]\{(x_{i})_{i \in I} \in \produkt_{i \in I}X_{i} :f_{i}^{j}(x_{j}) = x_{i} , i \preceq j \}.[/mm]
>
> >
> > [mm]\pi_{j}^{\sim}[/mm] bezeichne die Einschränkung von [mm]\pi_{j}[/mm] auf
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] und mit
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm] bezeichne man die
> > initiale Topologie auf [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm]
> > bzgl. der Familie [mm]\{ \pi_{j}^{\sim} : i \in I \}[/mm] von
> > Abbildungen.
> >
> > Zeige:
> > 1) Die Topologie [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm] ist
> > die Spurtopologie auf [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] von
> > der Produkttopologie [mm]\produkt_{i \in I}T_{i}[/mm] auf
> > [mm]\produkt_{i \in I}X_{i}[/mm]
> Für diese Teilaufgabe kannst du
> im Prinzip [mm]\preceq[/mm] und die [mm]f_i^j[/mm] vergessen:
>
> Sei [mm]X:=\prod_{i\in I}X_i[/mm], [mm]T_X:=\prod_{i\in I}[/mm],
> [mm]Y:=\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm], [mm]T_Y:=[/mm]die
> Spurtopologie von [mm]T_X[/mm] auf [mm]Y[/mm], [mm]T_Y^\sim:=\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm].
>
> Zu zeigen ist [mm]T_Y^\sim=T_Y[/mm].
>
> Es genügt dazu zu wissen:
>
> [mm]I[/mm] ist eine Menge.
> Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm](X_i,T_i)[/mm] ein topologischer Raum.
> [mm]X[/mm] ist eine Menge.
> Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i\colon X\to X_i[/mm] eine
> Abbildung.
> [mm]T_X[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i,i\in I[/mm].
> [mm]Y[/mm] ist eine
> Teilmenge von [mm]X[/mm].
> [mm]T_Y[/mm] ist die Spurtopologie von [mm]T_X[/mm] auf [mm]Y[/mm].
> Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i^\sim=\pi|_Y\colon Y\to X_i[/mm].
>
> [mm]T_Y^\sim[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i^\sim,i\in I[/mm].
>
> Zeige nun unter diesen Voraussetzungen [mm]T_Y^\sim=T_Y[/mm], indem
> du beide Inklusionen [mm]\subseteq[/mm] und [mm]\supseteq[/mm] nacheinander
> nachweist.
Hallo Tobias,
Wie würdest du denn beginnen, bzw. wie wäre es denn sinnvoll ? Soll ich mir die Subbasen der Produkttopologie ansehen ?
Lg Peter
>
>
> > 2) Sind alle Räume [mm](X_{i},T_{i})[/mm] Hausdorff, so ist
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] ein abg. Teilraum von
> > [mm]\produkt_{i \in I}X_{i}[/mm]
> Zu zeigen ist, dass
>
> [mm]U:=\left(\prod_{i\in I}X_i\right)\setminus\left(\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i\right)[/mm]
>
> eine offene Teilmenge von [mm]\prod_{i\in I}X_i[/mm] ist.
>
> Es gilt
>
> [mm]U=\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;\exists j,k\in I\text{ mit }j\preceq k\colon\blue\ldots\not=\blue\ldots\}=\bigcup_{\substack{j,k\in I\\j\preceq k}}\underbrace{\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;\blue\ldots\not=\blue\ldots\}}_{=:U_{jk}}[/mm]
>
> (Ersetze die blauen Pünktchen passend.).
>
> Es genügt also zu zeigen, dass die [mm]U_{jk}[/mm] offen in
> [mm]\prod_{i\in I}X_i[/mm] sind.
> Seien also [mm]j,k\in I[/mm].
>
> In der Definition von [mm]U_{jk}[/mm] taucht eine Ungleichheit von
> Elementen von [mm]X_j[/mm] auf.
> Das schreit danach, die Hausdorff-Eigenschaft von [mm]X_j[/mm] ins
> Spiel zu bringen:
> Es existieren zu allen [mm]y,z\in X_j[/mm] mit [mm]y\not=z[/mm] gewisse
> offene Mengen [mm]V_{y,z},W_{y,z}\subseteq X_j[/mm] mit
> [mm]\blue\ldots[/mm].
>
> Stelle nun mithilfe der [mm]V_{y,z}[/mm] und [mm]W_{y,z}[/mm] die Menge
> [mm]U_{jk}[/mm] dar als Vereinigung über gewisse Mengen [mm]U_{jk}^{yz}[/mm]
> für [mm]y,z\in X_j[/mm] mit [mm]y\not=z[/mm].
>
> Es genügt dann zu zeigen, dass die Mengen [mm]U_{jk}^{yz}[/mm]
> offen sind.
>
>
>
> Für diese Aufgaben braucht man gar kein so gutes
> Verständnis des Limes.
> Dennoch eine Verständnis-Hilfe:
>
> Wir betrachten den Spezialfall [mm](I,\preceq)=(\IN,\le)[/mm], wobei
> [mm]\le[/mm] die gewöhnliche Ordnung der natürlichen Zahlen
> bezeichne.
> (Die 0 sei im Folgenden keine natürliche Zahl.)
>
> Dann haben wir folgendes Diagramm:
>
> [mm]X_1\xleftarrow{f_1^2}X_2\xleftarrow{f_2^3}X_3\xleftarrow{f_3^4}\ldots[/mm].
>
> Z.B. die Abbildung [mm]f_1^4[/mm] ist einfach die Komposition der
> Abbildungen [mm]f_3^4[/mm], [mm]f_2^3[/mm] und [mm]f_1^2[/mm].
>
> Den Limes [mm]\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i[/mm] stellt man sich in
> der Grafik am besten rechts vor:
>
> [mm]X_1\xleftarrow{f_1^2}X_2\xleftarrow{f_2^3}X_3\xleftarrow{f_3^4}\ldots\xleftarrow{\pi_j^\sim}\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i[/mm].
>
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 13:33 So 02.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter!
> > Es genügt dazu zu wissen:
> >
> > [mm]I[/mm] ist eine Menge.
> > Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm](X_i,T_i)[/mm] ein topologischer
> Raum.
> > [mm]X[/mm] ist eine Menge.
> > Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i\colon X\to X_i[/mm] eine
> > Abbildung.
> > [mm]T_X[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i,i\in I[/mm].
> > [mm]Y[/mm]
> ist eine
> > Teilmenge von [mm]X[/mm].
> > [mm]T_Y[/mm] ist die Spurtopologie von [mm]T_X[/mm] auf [mm]Y[/mm].
> > Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i^\sim=\pi|_Y\colon Y\to X_i[/mm].
>
> >
> > [mm]T_Y^\sim[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i^\sim,i\in I[/mm].
>
> >
> > Zeige nun unter diesen Voraussetzungen [mm]T_Y^\sim=T_Y[/mm], indem
> > du beide Inklusionen [mm]\subseteq[/mm] und [mm]\supseteq[/mm] nacheinander
> > nachweist.
> Wie würdest du denn beginnen, bzw. wie wäre es denn
> sinnvoll ? Soll ich mir die Subbasen der Produkttopologie
> ansehen ?
In meinem obigen "reduzierten Setting" kommt die Produkttopologie gar nicht mehr vor, sondern nur die Initialtopologie der [mm] $\pi_i$ [/mm] (wobei wir uns gar keine Gedanken darüber machen müssen, wie die [mm] $\pi_i\colon X\to X_i$ [/mm] konkret aussehen).
Du wirst in der Tat irgendwo benötigen, dass
[mm] $\{\pi_i(U_i)\;|\;i\in I,U_i\in T_i\}$
[/mm]
eine Subbasis dieser Initialtopologie bildet.
Zu [mm] $T_Y^\sim\subseteq T_Y$:
[/mm]
Sei [mm] $U\in T_Y^\sim$.
[/mm]
Zu zeigen ist [mm] $U\in T_Y$
[/mm]
(D.h. nach Definition der Spur-Topologie ist was zu zeigen?).
Welche Gestalt hat $U$ wegen [mm] $U\in T_Y^\sim$ [/mm] nach Definition von [mm] $T_Y^\sim$?
[/mm]
Benötigen wirst du dann die Gültigkeit von
[mm] $(\pi_i^\sim)^{-1}(A_i)=(\pi_i)^{-1}(A_i)\cap [/mm] Y$
für alle [mm] $i\in [/mm] I$ und alle [mm] $A_i\subseteq X_i$.
[/mm]
Ich glaube, für [mm] $T_Y^\sim\supseteq T_Y$ [/mm] kriegst du nun zumindest den Anfang selbst hin.
Viele Grüße
Tobias
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> Hallo Peter!
>
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> > > Es genügt dazu zu wissen:
> > >
> > > [mm]I[/mm] ist eine Menge.
> > > Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm](X_i,T_i)[/mm] ein topologischer
> > Raum.
> > > [mm]X[/mm] ist eine Menge.
> > > Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i\colon X\to X_i[/mm] eine
> > > Abbildung.
> > > [mm]T_X[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i,i\in I[/mm].
> > >
> [mm]Y[/mm]
> > ist eine
> > > Teilmenge von [mm]X[/mm].
> > > [mm]T_Y[/mm] ist die Spurtopologie von [mm]T_X[/mm] auf [mm]Y[/mm].
> > > Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i^\sim=\pi|_Y\colon Y\to X_i[/mm].
>
> >
> > >
> > > [mm]T_Y^\sim[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i^\sim,i\in I[/mm].
>
> >
> > >
> > > Zeige nun unter diesen Voraussetzungen [mm]T_Y^\sim=T_Y[/mm], indem
> > > du beide Inklusionen [mm]\subseteq[/mm] und [mm]\supseteq[/mm] nacheinander
> > > nachweist.
>
>
> > Wie würdest du denn beginnen, bzw. wie wäre es denn
> > sinnvoll ? Soll ich mir die Subbasen der Produkttopologie
> > ansehen ?
> In meinem obigen "reduzierten Setting" kommt die
> Produkttopologie gar nicht mehr vor, sondern nur die
> Initialtopologie der [mm]\pi_i[/mm] (wobei wir uns gar keine
> Gedanken darüber machen müssen, wie die [mm]\pi_i\colon X\to X_i[/mm]
> konkret aussehen).
>
> Du wirst in der Tat irgendwo benötigen, dass
>
> [mm]\{\pi_i(U_i)\;|\;i\in I,U_i\in T_i\}[/mm]
>
> eine Subbasis dieser Initialtopologie bildet.
>
>
> Zu [mm]T_Y^\sim\subseteq T_Y[/mm]:
>
> Sei [mm]U\in T_Y^\sim[/mm].
> Zu zeigen ist [mm]U\in T_Y[/mm]
> (D.h. nach
> Definition der Spur-Topologie ist was zu zeigen?).
>
> Welche Gestalt hat [mm]U[/mm] wegen [mm]U\in T_Y^\sim[/mm] nach Definition
> von [mm]T_Y^\sim[/mm]?
Also U ist genau dann offen bzgl. der Spur-Topologie [mm] T_{Y^{\sim}} [/mm] falls es eine in [mm] X_{i} [/mm] offene Menge [mm] A_{i} [/mm] mit [mm] U=(\pi_{j}^{\sim})^{-1}(A_{i}) [/mm] = [mm] \pi_{i}^{-1}(A_{i}) \cap [/mm] Y gibt. ?
>
> Benötigen wirst du dann die Gültigkeit von
>
> [mm](\pi_i^\sim)^{-1}(A_i)=(\pi_i)^{-1}(A_i)\cap Y[/mm]
>
> für alle [mm]i\in I[/mm] und alle [mm]A_i\subseteq X_i[/mm].
>
>
> Ich glaube, für [mm]T_Y^\sim\supseteq T_Y[/mm] kriegst du nun
> zumindest den Anfang selbst hin.
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
Lg Peter
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:47 So 02.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
> > Zu [mm]T_Y^\sim\subseteq T_Y[/mm]:
> >
> > Sei [mm]U\in T_Y^\sim[/mm].
> > Zu zeigen ist [mm]U\in T_Y[/mm]
> > (D.h.
> nach
> > Definition der Spur-Topologie ist was zu zeigen?).
Wir suchen eine offene Menge V in [mm] $(X,T_X)$ [/mm] mit [mm] $U=V\cap [/mm] Y$.
> > Welche Gestalt hat [mm]U[/mm] wegen [mm]U\in T_Y^\sim[/mm] nach Definition
> > von [mm]T_Y^\sim[/mm]?
> Also U ist genau dann offen bzgl. der Spur-Topologie
> [mm]T_{Y^{\sim}}[/mm]
[mm] $T_Y^\sim$ [/mm] ist gar nicht als Spur-Topologie, sondern als Initial-Topologie der [mm] $\pi_i^\sim$ [/mm] definiert.
> falls es eine in [mm]X_{i}[/mm] offene Menge [mm]A_{i}[/mm] mit
> [mm]U=(\pi_{j}^{\sim})^{-1}(A_{i})[/mm]
(Es soll wohl [mm] $\pi_i$ [/mm] statt [mm] $\pi_j$ [/mm] heißen.)
Die Mengen dieser Form bilden eine Subbasis von [mm] $T_Y^\sim$.
[/mm]
Aber nicht alle offenen Mengen in [mm] $(Y,T_Y^\sim)$ [/mm] haben diese Gestalt.
Beliebige solche offene Mengen haben die Gestalt
(*) [mm] $U=\bigcup_{k\in K}\bigcap_{j=1}^{n_k}(\pi_{i_k})^{-1}(U_{kj})$
[/mm]
für eine Menge $K$, natürliche Zahlen [mm] $n_k\in\IN_0$ [/mm] für alle [mm] $k\in [/mm] K$, Indizes [mm] $i_k\in [/mm] I$ für alle [mm] $k\in [/mm] K$, und offene Mengen [mm] $U_{kj}\in T_{i_k}$ [/mm] für alle [mm] $k\in [/mm] K$ und alle [mm] $j=1,\ldots,n_k$.
[/mm]
(Dabei sei der "leere Durchschnitt"="Durchschnitt von 0 Mengen" definiert als $Y$.)
> = [mm]\pi_{i}^{-1}(A_{i}) \cap[/mm] Y
> gibt. ?
> > Benötigen wirst du dann die Gültigkeit von
> >
> > [mm](\pi_i^\sim)^{-1}(A_i)=(\pi_i)^{-1}(A_i)\cap Y[/mm]
> >
> > für alle [mm]i\in I[/mm] und alle [mm]A_i\subseteq X_i[/mm].
Wende diese Regel auf (*) an und versuche, ein [mm] $V\in T_X$ [/mm] zu finden mit [mm] $U=V\cap [/mm] Y$.
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> Hallo Peter_123!
>
>
> > Sei [mm](I,\preceq)[/mm] eine gerichtete Menge und sei [mm](X_{i}, T_{i})[/mm]
> > , i [mm]\in[/mm] I , eine Familie top. Räume. Für je zwei Indizes
> > i,j [mm]\in[/mm] I mit [mm]i \preceq j[/mm] sei [mm]f_{i}^{j}:X_{j} \to X_{i}[/mm]
> > eine stetige Abb. , sodass [mm]f_{i}^{i}[/mm] = [mm]id_{X}[/mm] , i [mm]\in[/mm] I und
> > [mm]f_{i}^{k} \circ f_{k}^{i} =f_{i}^{j}[/mm] , i [mm]\preceq[/mm] k [mm]\preceq[/mm]
> > j.
> > Bezeichne mit [mm]\pi_{j}[/mm] : [mm]\produkt_{i \in I}X_{i} \to X_{j}[/mm] ,
> > j [mm]\in[/mm] I die kanonische Projektion des direkten Produktes
> > auf seine j-te Komponente. Wir definieren
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] := [mm]\{(x_{i})_{i \in I} \in \produkt_{i \in I}X_{i} :f_{i}^{j}(x_{j}) = x_{i} , i \preceq j \}.[/mm]
>
> >
> > [mm]\pi_{j}^{\sim}[/mm] bezeichne die Einschränkung von [mm]\pi_{j}[/mm] auf
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] und mit
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm] bezeichne man die
> > initiale Topologie auf [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm]
> > bzgl. der Familie [mm]\{ \pi_{j}^{\sim} : i \in I \}[/mm] von
> > Abbildungen.
> >
> > Zeige:
> > 1) Die Topologie [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm] ist
> > die Spurtopologie auf [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] von
> > der Produkttopologie [mm]\produkt_{i \in I}T_{i}[/mm] auf
> > [mm]\produkt_{i \in I}X_{i}[/mm]
> Für diese Teilaufgabe kannst du
> im Prinzip [mm]\preceq[/mm] und die [mm]f_i^j[/mm] vergessen:
>
> Sei [mm]X:=\prod_{i\in I}X_i[/mm], [mm]T_X:=\prod_{i\in I}[/mm],
> [mm]Y:=\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm], [mm]T_Y:=[/mm]die
> Spurtopologie von [mm]T_X[/mm] auf [mm]Y[/mm], [mm]T_Y^\sim:=\limes_{\leftarrow, i \in I}T_{i}[/mm].
>
> Zu zeigen ist [mm]T_Y^\sim=T_Y[/mm].
>
> Es genügt dazu zu wissen:
>
> [mm]I[/mm] ist eine Menge.
> Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm](X_i,T_i)[/mm] ein topologischer Raum.
> [mm]X[/mm] ist eine Menge.
> Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i\colon X\to X_i[/mm] eine
> Abbildung.
> [mm]T_X[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i,i\in I[/mm].
> [mm]Y[/mm] ist eine
> Teilmenge von [mm]X[/mm].
> [mm]T_Y[/mm] ist die Spurtopologie von [mm]T_X[/mm] auf [mm]Y[/mm].
> Für jedes [mm]i\in I[/mm] ist [mm]\pi_i^\sim=\pi|_Y\colon Y\to X_i[/mm].
>
> [mm]T_Y^\sim[/mm] ist die Initialtopologie der [mm]\pi_i^\sim,i\in I[/mm].
>
> Zeige nun unter diesen Voraussetzungen [mm]T_Y^\sim=T_Y[/mm], indem
> du beide Inklusionen [mm]\subseteq[/mm] und [mm]\supseteq[/mm] nacheinander
> nachweist.
>
>
> > 2) Sind alle Räume [mm](X_{i},T_{i})[/mm] Hausdorff, so ist
> > [mm]\limes_{\leftarrow, i \in I}X_{i}[/mm] ein abg. Teilraum von
> > [mm]\produkt_{i \in I}X_{i}[/mm]
> Zu zeigen ist, dass
>
> [mm]U:=\left(\prod_{i\in I}X_i\right)\setminus\left(\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i\right)[/mm]
>
> eine offene Teilmenge von [mm]\prod_{i\in I}X_i[/mm] ist.
>
> Es gilt
>
> [mm]U=\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;\exists j,k\in I\text{ mit }j\preceq k\colon\blue\ldots\not=\blue\ldots\}=\bigcup_{\substack{j,k\in I\\j\preceq k}}\underbrace{\{(x_i)_{i\in I}\in\prod_{i\in I}X_i\;|\;\blue\ldots\not=\blue\ldots\}}_{=:U_{jk}}[/mm]
>
> (Ersetze die blauen Pünktchen passend.).
>
> Es genügt also zu zeigen, dass die [mm]U_{jk}[/mm] offen in
> [mm]\prod_{i\in I}X_i[/mm] sind.
> Seien also [mm]j,k\in I[/mm].
>
> In der Definition von [mm]U_{jk}[/mm] taucht eine Ungleichheit von
> Elementen von [mm]X_j[/mm] auf.
> Das schreit danach, die Hausdorff-Eigenschaft von [mm]X_j[/mm] ins
> Spiel zu bringen:
> Es existieren zu allen [mm]y,z\in X_j[/mm] mit [mm]y\not=z[/mm] gewisse
> offene Mengen [mm]V_{y,z},W_{y,z}\subseteq X_j[/mm] mit
> [mm]\blue\ldots[/mm].
>
> Stelle nun mithilfe der [mm]V_{y,z}[/mm] und [mm]W_{y,z}[/mm] die Menge
> [mm]U_{jk}[/mm] dar als Vereinigung über gewisse Mengen [mm]U_{jk}^{yz}[/mm]
> für [mm]y,z\in X_j[/mm] mit [mm]y\not=z[/mm].
>
> Es genügt dann zu zeigen, dass die Mengen [mm]U_{jk}^{yz}[/mm]
> offen sind.
>
>
>
> Für diese Aufgaben braucht man gar kein so gutes
> Verständnis des Limes.
> Dennoch eine Verständnis-Hilfe:
>
> Wir betrachten den Spezialfall [mm](I,\preceq)=(\IN,\le)[/mm], wobei
> [mm]\le[/mm] die gewöhnliche Ordnung der natürlichen Zahlen
> bezeichne.
> (Die 0 sei im Folgenden keine natürliche Zahl.)
>
> Dann haben wir folgendes Diagramm:
>
> [mm]X_1\xleftarrow{f_1^2}X_2\xleftarrow{f_2^3}X_3\xleftarrow{f_3^4}\ldots[/mm].
>
> Z.B. die Abbildung [mm]f_1^4[/mm] ist einfach die Komposition der
> Abbildungen [mm]f_3^4[/mm], [mm]f_2^3[/mm] und [mm]f_1^2[/mm].
>
> Den Limes [mm]\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i[/mm] stellt man sich in
> der Grafik am besten rechts vor:
>
> [mm]X_1\xleftarrow{f_1^2}X_2\xleftarrow{f_2^3}X_3\xleftarrow{f_3^4}\ldots\xleftarrow{\pi_j^\sim}\lim_{\leftarrow,i\in I}X_i[/mm].
Ich versuche den b-Teil über Netze.
Es bezeichne $A:= [mm] \lim_{\leftarrow,i\in I}X_i$
[/mm]
A abgeschlossen [mm] \gdw [/mm] für jede beliebige Indexmenge J und jedes konvergente Netz [mm] (x^{j})_{j \in J} [/mm] gilt
$x:= [mm] \limes_{j \in J}x^{j}$.
[/mm]
Aufgrund der Hausdorff-Eig. sind die Grenzwerte [mm] $(x_{i})_{i \in I} [/mm] := [mm] \limes_{j \in J}(x_{i}^{j})_{i \in I} [/mm] $ eindeutig bestimmt und damit auch$x:= [mm] \limes_{j \in J}x^{j}$
[/mm]
z.z. : [mm] x=(x_{i})_{i \in I} \in [/mm] A
also:
[mm] $\forall [/mm] i,k [mm] \in [/mm] I mit i [mm] \le [/mm] k : [mm] f_{i}^{k}(x_{k})=x_{i}$
[/mm]
für beliebiges i,k [mm] \in [/mm] I mit i [mm] \le [/mm] k folgt
[mm] $\limes_{j \in J}x_{i}^{j} [/mm] = [mm] x_{j}$ [/mm] und [mm] $\limes_{j \in J}x_{k}^{j} [/mm] = [mm] x_{k}$
[/mm]
[mm] f_{i}^{k}(x_{k}) [/mm] = [mm] f_{i}^{k}(\limes_{j \in J}x_{k}^{j}) [/mm] = [mm] \limes_{j \in J}f_{i}^{k}(x_{k}^{j}) [/mm] = [mm] \limes_{j \in J}x_{i}^{j} [/mm] = [mm] x_{i}
[/mm]
wobei in die zweite Gleichheit einfließt, dass die [mm] f_{i}^{k} [/mm] stetig sind
also x [mm] \in [/mm] A . Damit ist A abgeschlossen.
Lg Peter
>
>
>
> Viele Grüße
> Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:16 So 02.11.2014 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Peter!
> Ich versuche den b-Teil über Netze.
OK, in das Thema musste ich mich gerade erst einmal einlesen... 
> Es bezeichne [mm]A:= \lim_{\leftarrow,i\in I}X_i[/mm]
>
> A abgeschlossen [mm]\gdw[/mm] für jede beliebige
gerichtete
> Indexmenge J und
> jedes konvergente Netz [mm](x^{j})_{j \in J}[/mm]
mit [mm] $x^j\in [/mm] A$ für alle [mm] $j\in [/mm] J$
> gilt
> [mm]x:= \limes_{j \in J}x^{j}[/mm].
[mm] $\in [/mm] A$.
> Aufgrund der Hausdorff-Eig.
der [mm] $(X_i,T_i)$ [/mm] ist auch [mm] $(\prod_{i\in I}X_i,\prod_{i\in I}T_i)$ [/mm] Hausdorffsch (Hattet ihr das schon?) und somit
> sind die Grenzwerte [mm](x_{i})_{i \in I} := \limes_{j \in J}(x_{i}^{j})_{i \in I}[/mm]
> eindeutig bestimmt und damit auch[mm]x:= \limes_{j \in J}x^{j}[/mm]
Nur daher ergibt die Schreibweise [mm] $\limes_{j\in J}x^j$ [/mm] überhaupt Sinn.
Du solltest eigentlich noch erwähnen, dass du die Komponenten von [mm] $x^j$ [/mm] bzw. $x$ mit [mm] $x_i^j$ [/mm] bzw. [mm] $x_i$ [/mm] bezeichnen möchtest, also [mm] $x=(x_i)_{i\in I}$ [/mm] und [mm] $x^j=(x_i^j)_{i\in I}$.
[/mm]
> z.z. : [mm]x=(x_{i})_{i \in I} \in[/mm] A
Genau.
> also:
zu zeigen:
> [mm]\forall i,k \in I mit i \le k : f_{i}^{k}(x_{k})=x_{i}[/mm]
>
> für beliebiges i,k [mm]\in[/mm] I mit i [mm]\le[/mm] k folgt
> [mm]\limes_{j \in J}x_{i}^{j} = x_{\red{j}}[/mm] und [mm]\limes_{j \in J}x_{k}^{j} = x_{k}[/mm]
(Das von mir rot markierte j muss ein i sein.)
Hattet ihr die entsprechende Charakterisierung der Konvergenz von Netzen in Produkträumen schon?
(Wenn nein, müsstest du diesen Schritt noch anhand der Definition der Konvergenz von Netzen begründen.)
Es gilt daher:
> [mm]f_{i}^{k}(x_{k})[/mm] = [mm]f_{i}^{k}(\limes_{j \in J}x_{k}^{j})[/mm] =
> [mm]\limes_{j \in J}f_{i}^{k}(x_{k}^{j})[/mm] = [mm]\limes_{j \in J}x_{i}^{j}[/mm]
> = [mm]x_{i}[/mm]
>
> wobei in die zweite Gleichheit einfließt, dass die
> [mm]f_{i}^{k}[/mm] stetig sind
Wobei die Limes-Schreibweisen sinnvoll sind, da Grenzwerte in [mm] $(X_j,T_j)$ [/mm] bzw. [mm] $(X_k,T_k)$ [/mm] eindeutig sind aufgrund der Hausdorff-Eigenschaft dieser Räume.
> also x [mm]\in[/mm] A . Damit ist A abgeschlossen.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]") Sehr schön!
Viele Grüße
Tobias
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Beachte, dass bei der Definition des Limes die Forderung, dass die Indexmenge gerichtet sein muss, überflüssig ist. Jede geordnete Menge tut es da, und es entgehen einem viele wichtige Konzepte, wenn man sich da einschränkt. Wenn man beispielsweise I durch die Gleichheitsrelation ordnet, ist der Limes genau das gewöhnliche Produkt. (Tatsächlich braucht man nicht einmal eine geordnete Menge, sondern man kann auch mittels einer (kleinen) Kategorie indizieren, man erhält dann die gewöhnliche Definition eines Limes aus der Kategorientheorie, das hier ist ein Spezialfall.) Bei der b) braucht man die "Gerichtetheit" dann schon, auch wenn es allgemeiner mit filtrierenden Kategorien funktioniert, welche das Konzept der gerichteten Menge verallgemeinern. Jedenfalls gibt es keinen Grund, sich hier bei der Definition einzuschränken, wenn man ohne Mehraufwand geordnete Mengen betrachten kann, das wollte ich nur sagen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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