Spur eines Vektors < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 03:06 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
| Aufgabe | Gegeben sei die lineare Abbildung $f : [mm] \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2$ [/mm] mit
$(x, y) [mm] \mapsto [/mm] (y,x)$
Dann ist
$tr(f) = 0$ |
Hi,
ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Nur um es nochmal klar zu machen tr steht hier für die Spur.
Was die Spur ist, ist mir klar. Einfach die Summe der Diagonaleinträge einer [mm] $n\times [/mm] n$ Matrix.
Wie soll ich dann aber hier die Spur berechnen? Ich habe ja nur einen Vektor gegeben und keine Matrix?
Vielen Dank.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:04 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
> Gegeben sei die lineare Abbildung [mm]f : \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2[/mm]
> mit
> [mm](x, y) \mapsto (y,x)[/mm]
>
> Dann ist
>
> [mm]tr(f) = 0[/mm]
>
>
> ich habe eine Frage zu dieser Aufgabe. Nur um es nochmal
> klar zu machen tr steht hier für die Spur.
> Was die Spur ist, ist mir klar. Einfach die Summe der
> Diagonaleinträge einer [mm]n\times n[/mm] Matrix.
>
> Wie soll ich dann aber hier die Spur berechnen? Ich habe ja
> nur einen Vektor gegeben
brauchst du 'ne Brille ?
$ f : [mm] \underbrace{(x,y)}_{hier\, steht\, der\, erste} \mapsto \underbrace{(y,x)}_{und\; hier\; der\; zweite} [/mm] $
> und keine Matrix?
f wird durch eine Abbildungsmatrix beschrieben, die tatsächlich nicht direkt gegeben ist. Die musst du wohl selbst herausfinden.
>
> Vielen Dank.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:11 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Na ja, da kommt ja eigentlich fast nur
[mm] $\begin{pmatrix} 0&x\\y&0\end{pmatrix}$
[/mm]
in Frage.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 06:21 Sa 10.05.2014 | | Autor: | Sax |
Hi,
die Abbildungsvorschrift hängt doch nicht von den einzusetzenden Werten ab.
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 06:39 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Dann wähle ich die Standardbasis des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] mit $(1,0)$ und $(0,1)$
$f((1,0))=(0,1)$
$f((0,1))=(1,0)$
Meine Matrix:
[mm] $\begin{pmatrix} 0&1\\1&0\end{pmatrix}$
[/mm]
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Hallo,
ja, das ist die Abbildungsmatrix von f bzgl. der Standardbasis.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:17 Sa 10.05.2014 | | Autor: | YuSul |
Vielen Dank.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:32 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Hi, ich habe noch einmal eine Frage zu dieser Aufgabe.
Und zwar, habe ich ja die Basis [mm] $B=\langle\{\vektor{1\\0},\vektor{0\\1}\}\rangle$
[/mm]
Wenn ich nun
[mm] $f(\vektor{1\\0})=\vektor{1\\0}\cdot 0+\vektor{0\\1}\cdot 1=\vektor{0\\1}$
[/mm]
und
[mm] $f(\vektor{0\\1})=\vektor{1\\0}\cdot 1+\vektor{0\\1}\cdot 0=\vektor{1\\0}$
[/mm]
habe, dann trage ich dies ja jeweils Spalten weise ein. Aber wie sieht die Beschriftung der Basiswechselmatrix aus?
[mm] $M_{B\,\,\,\, C}$
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:36 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ich finde leider den Fehler in meinem Code nicht...
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Hallo,
habe es mal editiert und statt \begin{pmatrix} einfach \vektor{} benutzt.
Allerdings finde ich deine Schreibweise befremdlich.
Was soll [mm]\vektor{1\\0}\cdot{}1[/mm] bedeuten?
Ich kenne - und glaube, dass es üblich ist - nur die Definition der Multiplikation von Skalaren und Vektoren von links, also
[mm]1\cdot{}\vektor{1\\0}[/mm] usw. ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:06 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Ist das nicht egal, wie man Skalare mit Matrizen multipliziert?
Ansonsten pflegt mein Professor eine andere Schreibweise, er multipliziert immer von rechts, aber ich glaube ihm ist es im Grunde auch egal...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:44 Fr 11.07.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
in welche Basis willst du denn wechseln? und was nennst du "Beschriftung"
Gruss leduart?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:55 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
In die Standardbasis des [mm] $\mathbb{R}^2$ [/mm] und mit Beschriftung meine ich wie man den Basiswechsel kenntlich macht, da schreibt man dann ja M und im Index jeweils die Basen, nur wie? In welcher Reihenfolge?
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> In die Standardbasis des [mm]\mathbb{R}^2[/mm] und mit Beschriftung
> meine ich wie man den Basiswechsel kenntlich macht, da
> schreibt man dann ja M und im Index jeweils die Basen, nur
> wie? In welcher Reihenfolge?
Hallo,
die Antwort wird Dir nicht gut gefallen:
so, wie's in Deiner Vorlesung üblich ist...
Ich habe schon etliche Notationen gesehen für die Darstellungsmatrix einer linearen Abbildung f mit Basis B im Start- und Basis C im Zielraum, z.B.
[mm] _CM(f)_B, M^B_C(f), M_B_C(f), [/mm] aber auch [mm] M_C_B(f) [/mm] und [mm] M^C_B(f).
[/mm]
Ich persönlich mag die Schreibweise [mm] _CM(f)_B, [/mm] die ich im Forum kennengelernt habe, am liebsten, weil sie (für mich) selbsterklärend ist.
LG Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:16 Fr 11.07.2014 | | Autor: | YuSul |
Da hast du recht, dann muss ich wohl noch mal versuchen mit dem Skript klar zu kommen...
Vielen Dank.
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