Spur einer Matrix < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:36 Do 05.02.2015 | | Autor: | Neutron |
| Aufgabe | Sei K ein Körper und A = [mm] (a_{i,j}) \in K^{n,n}. [/mm] Dann heißt
Spur(A) [mm] :=\summe_{i=1}^{n} a_{i,j} [/mm] die Spur von A. Zeigen Sie:
(a) Ist p = [mm] \produkt_{j=1}^{n} (t-\mu_{j}) [/mm] = [mm] t^{n}+\beta_{n-1}t^{n-1}+...+\beta_{1}t+\beta_{0} \in [/mm] K(t), so gilt [mm] \beta_{n-1} [/mm] = [mm] -\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}.
[/mm]
(b) Ist A [mm] \in K^{n,n} [/mm] mit [mm] P_{A} [/mm] = [mm] \produkt_{j=1}^{n} (t-\lambda_{j}), [/mm] so ist Spur(A) = [mm] \summe_{j=1}^{n} \lambda_{j}.
[/mm]
(Bemerkung: [mm] P_{A} [/mm] ist das charakteristische Polynom von A) |
Hallo,
Ich habe leider große Probleme bei diesen beiden Aufgaben und auch keine Ansätze. Ich vermute, dass man diese Aufgaben entweder mit vollständiger Induktion oder mit einfachen Umformungen lösen muss. Könnt ihr mir vielleicht behilflich sein?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:49 Fr 06.02.2015 | | Autor: | MacMath |
Zunächst einmal ist die Definition der Spur falsch. Richtig wäre [mm] $:=\summe_{i=1}^{n} a_{i,i}$.
[/mm]
Dann schau dir erstmal a) an. Die Aussage ist recht trivial, ist dir klar dass das stimmt? Wie kommen denn die Terme zu [mm] $t^{(n-1)}$ [/mm] zustande?
(Sobald dir das klar ist, ist ein formaler Beweis recht einfach, Induktion sollte gut funktionieren)
Für die b) hängt der Lösungsweg davon ab, was ihr schon wisst. Was weißt du über ähnliche Matrizen?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:41 Fr 06.02.2015 | | Autor: | Neutron |
Vielen Dank für dein Tipp mit der ähnlichen Matrix zu Aufgabe (b)! Ich glaube ich habe sie jetzt fertig. Was (a) jedoch betrifft bin ich leider immernoch ratlos. Könntest du mir mit der Induktion helfen? Zumindest mit dem Anfang? Ich verstehe auch nicht wie der Term den du meinstest zustande kommt.
|
|
|
| |
|
> Vielen Dank für dein Tipp mit der ähnlichen Matrix zu
> Aufgabe (b)! Ich glaube ich habe sie jetzt fertig. Was (a)
> jedoch betrifft bin ich leider immernoch ratlos. Könntest
> du mir mit der Induktion helfen? Zumindest mit dem Anfang?
> Ich verstehe auch nicht wie der Term den du meinstest
> zustande kommt.
Hallo,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") .
Mir hilft es immer Beispiele zu machen.
Berechne doch mal (t-1)(t-2) und beobachte dabei, wie der Koeffizient vor dem [mm] t^{2-1}=t [/mm] zustande kommt,
berechne (t-1)(t-2)(t-17) und beobachte, wie der Koeffizient vor dem [mm] t^{3-1}=t^2 [/mm] zustande kommt,
berechne (t-1)(t-2)(t-17)(t-5) und beobachte, wie der Koeffizient vor dem [mm] t^{4-1}=t^3 [/mm] zustande kommt.
Zur Induktion:
zu zeigen ist für alle [mm] n\in \IN [/mm] die
Behauptung:
Ist p = $ [mm] \produkt_{j=1}^{n} (t-\mu_{j}) [/mm] $ = $ [mm] t^{n}+\beta_{n-1}t^{n-1}+...+\beta_{1}t+\beta_{0} \in [/mm] $ K(t), so gilt $ [mm] \beta_{n-1} [/mm] $ = $ [mm] -\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}. [/mm] $
Induktionsanfang:
prüfe, ob die Aussage für n=1 gilt.
(Falls Du hierbei ratlos bist, zeige die Aussage halt für n=2)
Induktionsvoraussetzung:
für ein [mm] n\in \IN [/mm] gelte:
Ist p = $ [mm] \produkt_{j=1}^{n} (t-\mu_{j}) [/mm] $ = $ [mm] t^{n}+\beta_{n-1}t^{n-1}+...+\beta_{1}t+\beta_{0} \in [/mm] $ K(t), so gilt $ [mm] \beta_{n-1} [/mm] $ = $ [mm] -\summe_{j=1}^{n} \mu_{j}. [/mm] $
Unter dieser Voraussetzung ist im Indutionsschluß zu zeigen, daß die Aussage dann auch für n+1 gilt,
daß also für
p = $ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} (t-\mu_{j}) [/mm] $ = $ [mm] t^{n+1}+\beta_{n-1}t^{n}+...+\beta_{1}t+\beta_{0} \in [/mm] $ K(t), gilt $ [mm] \beta_{n} [/mm] $ = $ [mm] -\summe_{j=1}^{n+1} \mu_{j}. [/mm] $
Induktionsschluß:
p = $ [mm] \produkt_{j=1}^{n+1} (t-\mu_{j}) [/mm] $ = $ [mm] t^{n+1}+\beta_{n-1}t^{n}+...+\beta_{1}t+\beta_{0}
[/mm]
[mm] =(t-\mu_{n+1})*\produkt_{j=1}^{n} (t-\mu_{j}) [/mm] =...
LG Angela
|
|
|
|
