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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:47 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
| Aufgabe | | Wir betrachten die Funktion f(x)=2-|x| im Intervall [-1,1]. Interpolieren Sie f an den Stützstellen [mm] x_0=-1, x_2=0 [/mm] und [mm] x_2=1 [/mm] durch einen kubischen Spline S(x) mit den natürlichen Randbedingungen [mm] S''(x_0)=S''(x_2)=0. [/mm] |
Hallo!
Um Splines zu berechnen, also damit eine Funktion zu interpolieren, haben wir ziemlich viele Formeln aufgeschrieben, mit Momenten und so. Für die Klausur möchte ich die nicht alle lernen, deswegen habe ich mir gedacht, man kann es doch auch quasi mit Steckbriefaufgaben lösen.
Nun habe ich hier obige Aufgabe und bin der Meinung, dass ich folgende Informationen dazu habe:
S(x)=S*= [mm] ax^3+bx^2+cx+d
[/mm]
S'(x)=S*'= [mm] 3ax^2+2bx+c
[/mm]
S''(x)=S*''= 6ax+2b
es soll gelten:
S(-1)=f(-1)=1
S(0)=f(0)=2
S''(-1)=0
für die Funktion S(x) im Intervall [-1,0]
und
S*(0)=f(0)=2
S*(1)=f(1)=1
S*''(1)=0
für die Funktion S*(x) im Intervall [0,1]
Ich habe ja nämlich zwei verschiedene Funktion (S und S*) in den beiden Teilintervallen, oder nicht!?
Nun muss doch aber an den "inneren Punkten" des Gesamtintervall [-1,1] gelten, dass die Funktionswerte gleich sind, und auch die ersten und zweiten Ableitungen, oder? Also S(0)=S*(0), S'(0)=S*'(=) und S''(0)=S*''(0).
Aber wie bekomme ich das hier mit reinformuliert?
Bisher habe ich für beide Funktionen jeweils drei Gleichungen, ich brauche doch aber vier. Habe ich eine vergessen? Habe ich eine irgendwie doppelt? Und wie bekomme ich diesen Zusammenhang zwischen beiden da mit rein?
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte. 
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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Hallo Bastiane,
was hältst du davon, wenn ich dir, schon aus Gründen
der Symmetrie, für [mm] $x_2=0$ [/mm] eine waagrechte Tangente
spendiere, bzw. wenn du einfach auf den Tisch haust
und eine verlangst?
[mm] $S'(0)=S_\*'(0)=0$
[/mm]
Gruß Karthagoras
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:42 Sa 01.07.2006 | | Autor: | Bastiane |
Hallo Karthagoras!
> was hältst du davon, wenn ich dir, schon aus Gründen
> der Symmetrie, für [mm]x_2=0[/mm] eine waagrechte Tangente
> spendiere, bzw. wenn du einfach auf den Tisch haust
> und eine verlangst?
>
> [mm]S'(0)=S_\*'(0)=0[/mm]
Danke für die schnelle Antwort. Damit bekomme ich das richtige Ergebnis raus. Nur was mache ich, wenn ich in der Klausur eine Funktion bekomme, die nicht symmetrisch ist? Wie mache ich das dann allgemein?
Viele Grüße
Bastiane
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Hallo Bastiane,
wenn es um den Stützpunkt herum linkseitig-ergänzbare und rechtsseitig-ergänzbare Ableitungen gibt, ist die Versuchung groß aus beiden irgendwie einen Mittelwert zu bilden.
Abgesehen davon, dass dir ja mehrere Mittelwerte bekannt sind und du dich nicht auf das arithmetische beschränken musst, könntest du versuchen die unterschiedlichen Ableitungen gewichtet zu Mitteln.
(oder die Steigungen zu Winkeln rechnen, die dann mitteln und über den [mm] \tan [/mm] in eine Steigung zurückzuverwandeln.)
Tob dich aus; ich denke nicht daran zu postulieren, dass man es so oder so machen muss. (Und bei deinem Beispiel dürften sie alle zu einer waagrechten Tangente führen.)
Gruß Karthagoras
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Hallo Bastiane,
> Hallo Karthagoras!
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> > was hältst du davon, wenn ich dir, schon aus Gründen
> > der Symmetrie, für [mm]x_2=0[/mm] eine waagrechte Tangente
> > spendiere, bzw. wenn du einfach auf den Tisch haust
> > und eine verlangst?
> >
> > [mm]S'(0)=S_\*'(0)=0[/mm]
>
> Danke für die schnelle Antwort. Damit bekomme ich das
> richtige Ergebnis raus. Nur was mache ich, wenn ich in der
> Klausur eine Funktion bekomme, die nicht symmetrisch ist?
> Wie mache ich das dann allgemein?
Ganz allgemein hat man die Stetigkeit der 1. und 2. Ableitung d.h. diese müssen an den Übergängen übereinstimmen und die restlichen 2 Gleichungen hattest Du eigentlich ohnehin schon hingeschrieben
[mm]S'(0)=S_\*'(0)[/mm]
[mm]S''(0)=S_\*''(0)[/mm]
Macht insgesamt 8 Gleichungen für 8 Unbekannte.
Alternativ kannst Du natürlich andere Darstellungsformen für deinen Spline benutzen die mit weniger Koeffizienten auskommen.
viele Grüße
mathemaduenn
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