Spitze einer Pyramide < Geraden und Ebenen < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
ich habe mir gerade folgendes Problem überlegt. Angenommen ich hätte vier Punkte A, B, C, D (alle in einem drei Dimensionalen-Raum). Diese bilden die Grundfläche einer Pyramide. Jetzt soll eine Spitze gefunden werden, mit einer Höhe von 3LE. Wie gehe ich hierbei vor?
Als erstes könnt ich eine Ebene aus drei Punkten bilden. Dann könnte ich von der Grundfläche den Mittelpunkt finden. Also [mm] \vec{a}+\bruch{1}{2} \vec{AC}=\vec{m}. [/mm] Nur wie geht es jetzt weiter? Der Punkt muss ja senkrecht zur Ebene stehen? Ich hoffe ihr könnt mir dabei helfen :).
Die zweite Frage wäre, wie verschiebe ich die Grundfäche (parallel) um 2LE, so dass ich eine zweite "Etage" habe?
Vielen Dank!
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:56 Di 18.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
deine beiden Fragen sind recht einfach zu beantworten, wenn du die Hessesche Normalenform kennst - hier wird eine Ebene über einen Stützpunkt und den Normalenvektor (der senkrecht auf der Ebene steht) repräsentiert.
Schau mal in deinen Unterlagen oder hier im Forum wie man auf die Normalenform kommt.
(mein browser will gerade nicht so, wie ich will, sonst würde ich ja schnell mal die suche oben rechts bemühen bzw ![[]](/images/popup.gif) HIER bei wiki schauen)
Jedenfalls, wenn du den Normalenvektor n mit Länge 1 hast, dann brauchst du bei deiner ersten Aufgabe nur zum Mittelpunkt noch 3*n addieren.
Bei deiner zweiten Aufgabe musst du einfach zum Stützpunkt 2*n addieren.
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
> Jedenfalls, wenn du den Normalenvektor n mit Länge 1 hast,
> dann brauchst du bei deiner ersten Aufgabe nur zum
> Mittelpunkt noch 3*n addieren.
Erm, also damit ich das jetzt richtig verstehe, ich bilde aus meiner Ebenen Parametergleichung (z.B. über das Kreuzprodukt) den Normalenvektor n. Multipliziere ihn mit 3 und addiere ihn zu m? Was meinst du mit der Länge 1 und warum brauche ich hierfür die Hesse-Normalform (weiß wie sie aussieht)?
> Bei deiner zweiten Aufgabe musst du einfach zum Stützpunkt
> 2*n addieren.
--> Aus der Parametergleichung das Kreuzprodukt bilden, den Vektor n bestimmen und bei der Parametergleichung zum Stützpunkt 2n addieren, richtig?
Nochmals herzlichen Dank für die schnelle Antwort :D!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:53 Di 18.04.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Erm, also damit ich das jetzt richtig verstehe, ich bilde
> aus meiner Ebenen Parametergleichung (z.B. über das
> Kreuzprodukt) den Normalenvektor n. Multipliziere ihn mit 3
> und addiere ihn zu m? Was meinst du mit der Länge 1 und
> warum brauche ich hierfür die Hesse-Normalform (weiß wie
> sie aussieht)?
Ja, wenn du den Normalenvektor schon hast und ihn normierst, d.h. auf Länge 1 bringst (also mit [mm] $\bruch{1}{|n|}$ [/mm] multiplizieren), dann hast du einen Vektor, der senkrecht zur Ebene steht und die Länge 1 hat.
diesen multiplizierst du dann mit dem Faktor 3 (wodurch sich nur die Länge ändert - aber nicht die Richtung) und kannst ihn dann zu m addieren, dann hast du deine Pyramidenspitze, ja !
Die Normalenform brauchst du hier nicht explizit - eigentlich brauchst du nur den Normalenvektor (aber den lernt man meist mit der Normalenform kennen, deshalb hatte ich sie erwähnt)
> --> Aus der Parametergleichung das Kreuzprodukt bilden, den
> Vektor n bestimmen und bei der Parametergleichung zum
> Stützpunkt 2n addieren, richtig?
Ja genau, aber du kannst auch bei der Normalenform 2*n zum Stützvektor addieren, wenn du dies lieber magst...
(auch hier wird aber vorrausgesetzt, dass der Normalenvektor normiert war, also Länge 1 hatte)
viele Grüße
DaMenge
|
|
|
| |
|
Hallo meine Retter ;),
ja... nach langer Zeit ist das, das einst klar zu seinen schien, wieder verschwommen...
Es geht um das Erstellen einer Parallelebene mit einem bestimmten Abstand. In meiner letzten Klausur hatte ich die Ebene E: - [mm] x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=3 [/mm] Jetzt sollte hierzu eine Ebene im Abstand von d=3 erstellt werden.
Als Lösung wurde E1: - [mm] x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=12 [/mm] oder E2: - [mm] x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=-6 [/mm] angegeben.
Sieht alles recht simpel aus, aber ich weiß nicht wirklich wie man auf dieses Ergebniss kommt. Wäre die Rechnung anders gewesen, wenn das d aus der Ebene E nicht die gleiche Zahl wäre, wie der gesuchte Abstand?
|
|
|
| |
|
Hallo Superente!
Bestimme zunächst von der gegebenen Ebene die Hesse'sche Normalform (HNF). Dann gibt die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung den Abstand zum Ursprung an.
Hier musst Du dann den Wert [mm] $\Delta [/mm] d \ = \ 3$ hinzuaddieren oder subtrahieren, um auf die beiden möglichen Lösungen zu kommen.
Gruß vom
Roadrunner
|
|
|
| |
|
Ich habs eben ausprobiert, aber irgendwie will es nicht so, wie ich will:
> Bestimme zunächst von der gegebenen Ebene die Hesse'sche Normalform > (HNF). Dann gibt die Zahl auf der rechten Seite der Gleichung den Abstand > zum Ursprung an.
E: - $ [mm] x_{1}+2 x_{2}+2 x_{3}=3 [/mm] $
HNF: [mm] \bruch{1}{3}*(-x_{1}+2x_{2}+2x_{3}-3)=0
[/mm]
[mm] \gdw \bruch{-x_{1}+2x_{2}+2 x_{3}}{3}=1
[/mm]
> Hier musst Du dann den Wert $ [mm] \Delta [/mm] d \ = \ 3 $ hinzuaddieren oder > subtrahieren, um auf die beiden möglichen Lösungen zu kommen.
Erm, dann erhalte ich aber nicht die oben genannten Gleichungen. Zudem beführte ich, dass ich etwas falsch gemacht habe. Ich hoffe ihr habt noch Nerven, mir hier zu helfen, da ich morgen mein Mathe Abi schreibe :)
|
|
|
| |
|
Hallo Superente!
Cool bleiben ... Du hast doch alles richtig gemacht (behaupte ich).
Durch Addition von [mm] $\Delta [/mm] d \ = \ 3$ erhalten wir:
[mm]\bruch{-x_{1}+2x_{2}+2 x_{3}}{3} \ = \ 1+3 \ = \ 4[/mm]
Und nun diese Gleichung mit $3_$ multiplizieren, um den Bruch auf der linken Seite zu eliminieren ... voilà!
Ebenso funktioniert es mit der Subtraktion:
[mm]\bruch{-x_{1}+2x_{2}+2 x_{3}}{3} \ = \ 1-3 \ = \ -2[/mm] [mm] $\left| \ *3$
Gruß vom
Roadrunner
[/mm]
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:00 Do 27.04.2006 | | Autor: | Superente |
hihihihihihi, genial!!!! :D Ok, darauf hätte ich auch selbst kommen müssen.
Mega großes Danke! ;)
|
|
|
|
