Spiel mit Münzwurf < Wahrscheinlichkeit < Stochastik < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Zwei Spieler, A und B, spielen ein Spiel:
Sie werfen eine faire Münze. Fällt Kopf, so gewinnt A
die Runde, fällt Zahl, so gewinnt B die Runde. Der
Spieler, der zuerst drei Runden mehr als der andere Spieler
gewonnen hat, gewinnt das Spiel. Haben beide Spieler gleich
viele Runden gewonnen, so endet das Spiel unentschieden.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt? |
Hallo zusammen,
dies ist eine Aufgabe, welche eigentlich von fagottator
stammt und gerade noch hier diskutiert wurde. Als
ich eine Antwort schon halbwegs entworfen hatte,
sagte mir aber eine Fehlermeldung, dass der Bezugs-
Artikel nicht lesbar sei ...
Was dahinter steckt, ist mir unklar. Doch finde ich die
Aufgabe interessant genug und wert, hier weiter
behandelt zu werden. Deshalb stelle ich sie (da ich den
Aufgabentext noch hatte) hier nochmals ein.
Und jetzt meine Antwort:
Hallo fagottator
die Aufgabe hat's wirklich ein Stück weit "in sich", wie
schon bemerkt wurde.
Man kann sich aber erstens klar machen, dass es
sich hier ja gar nicht um ein eigentliches Spiel
zwischen zwei "Gegnern" A und B handelt, denn
die Münzwurfergebnisse allein (von denen wir
annehmen, dass sie "fair", d.h. unabhängig und
gleichverteilt sind) bestimmen ja den gesamten
Spielverlauf. Es ist also quasi ein "Null-Personen-Spiel".
Es gibt 3 mögliche Ausgänge, nämlich "A gewinnt",
"B gewinnt" oder "Unentschieden".
Bezeichnen wir deren Wahrscheinlichkeiten:
a:= P("A gewinnt")
b:= P("B gewinnt")
u:= P("Unentschieden")
Das Symmetrieargument, dass
a = b
sein muss, wurde schon erwähnt.
Natürlich müssen wir im Prinzip auch beliebig lange
Wurfsequenzen zulassen. Es soll eben stets so lange
weitergespielt werden, bis (genau) eines der 3
möglichen Schlussergebnisse vorliegt.
In Tat und Wahrheit wird ein solches Spiel nur selten
auch wirklich "ewig" dauern - nämlich so selten,
dass man die Behauptung wagen kann:
P(eine Wurfserie ist nicht nach
endlich vielen Würfen beendet) = 0
Dies wäre noch zu zeigen. Dann aber dürfen wir
die Gleichung
a+b+u = 1
aufstellen.
Nach diesen Vorüberlegungen genügt es, einen
der beiden Werte a (=b) oder u zu berechnen.
Mittels eines geschickt aufgestellten Baumes
und der Betrachtung einer gewissen geometrischen
Reihe sollte dies zu machen sein.
Dies habe ich zwar noch nicht durchgeführt, werde
aber dran gehen, es zu tun.
LG , Al-Chwarizmi
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:57 Mo 02.12.2013 | | Autor: | Richie1401 |
Hallo Al,
bitte beachte dazu auch meinen Beitrag:
https://matheraum.de/read?i=995169
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:19 Mo 02.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo Al, hallo Richie,
ich glaube, damit ist nicht zuviel verraten. Die Arbeit verbleibt nach wie vor beim Leser. Dass schließlich die Lösung eine sehr "glatte" ist, muss man dann schon selbst noch herleiten.
Lassen wirs doch am besten vorerst dabei.
Folgt dem digitalen Advent eigentlich ganz analog ein digitales Weihnachten? 
Grüße
rev
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:08 Mo 02.12.2013 | | Autor: | abakus |
> Zwei Spieler, A und B, spielen ein Spiel:
> Sie werfen eine faire Münze. Fällt Kopf, so gewinnt A
> die Runde, fällt Zahl, so gewinnt B die Runde. Der
> Spieler, der zuerst drei Runden mehr als der andere Spieler
> gewonnen hat, gewinnt das Spiel. Haben beide Spieler gleich
> viele Runden gewonnen, so endet das Spiel unentschieden.
> Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass A gewinnt?
Hallo,
die Aufgabenstellung ist entweder unvollständig zitiert oder in sich widersprüchlich.
ENTWEDER wird so lange gespielt, bis jemand 3 Gewinnrunden Vorsprung hat
ODER nach einer vorher festgelegten (???) Anzahl von Runden ist Schluss
ODER falls irgendwann mal Gleichstand herrscht wird abgebrochen (was allerdings schon bei 0:0 der Fall wäre).
More information please.
Gruß Abakus
> Hallo zusammen,
> [color=blue] [/color]
> dies ist eine Aufgabe, welche eigentlich von fagottator
> [color=blue] stammt und gerade noch hier diskutiert wurde. Als[/color]
> ich eine Antwort schon halbwegs entworfen hatte,
> [color=blue] sagte mir aber eine Fehlermeldung, dass der Bezugs-[/color]
> Artikel nicht lesbar sei ...
> [color=blue] Was dahinter steckt, ist mir unklar. Doch finde ich die[/color]
> Aufgabe interessant genug und wert, hier weiter
> [color=blue] behandelt zu werden. Deshalb stelle ich sie (da ich den[/color]
> Aufgabentext noch hatte) hier nochmals ein.
>
> Und jetzt meine Antwort:
>
>
> Hallo fagottator
>
> die Aufgabe hat's wirklich ein Stück weit "in sich", wie
> schon bemerkt wurde.
> Man kann sich aber erstens klar machen, dass es
> sich hier ja gar nicht um ein eigentliches Spiel
> zwischen zwei "Gegnern" A und B handelt, denn
> die Münzwurfergebnisse allein (von denen wir
> annehmen, dass sie "fair", d.h. unabhängig und
> gleichverteilt sind) bestimmen ja den gesamten
> Spielverlauf. Es ist also quasi ein "Null-Personen-Spiel".
> Es gibt 3 mögliche Ausgänge, nämlich "A gewinnt",
> "B gewinnt" oder "Unentschieden".
> Bezeichnen wir deren Wahrscheinlichkeiten:
>
> a:= P("A gewinnt")
> b:= P("B gewinnt")
> u:= P("Unentschieden")
>
> Das Symmetrieargument, dass
>
> a = b
>
> sein muss, wurde schon erwähnt.
>
> Natürlich müssen wir im Prinzip auch beliebig lange
> Wurfsequenzen zulassen. Es soll eben stets so lange
> weitergespielt werden, bis (genau) eines der 3
> möglichen Schlussergebnisse vorliegt.
> In Tat und Wahrheit wird ein solches Spiel nur selten
> auch wirklich "ewig" dauern - nämlich so selten,
> dass man die Behauptung wagen kann:
>
> P(eine Wurfserie ist nicht nach
> endlich vielen Würfen beendet) = 0
>
> Dies wäre noch zu zeigen. Dann aber dürfen wir
> die Gleichung
>
> a+b+u = 1
>
> aufstellen.
>
> Nach diesen Vorüberlegungen genügt es, einen
> der beiden Werte a (=b) oder u zu berechnen.
> Mittels eines geschickt aufgestellten Baumes
> und der Betrachtung einer gewissen geometrischen
> Reihe sollte dies zu machen sein.
> Dies habe ich zwar noch nicht durchgeführt, werde
> aber dran gehen, es zu tun.
>
> LG , Al-Chwarizmi
>
>
>
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:24 Mo 02.12.2013 | | Autor: | reverend |
Hallo abakus,
bitte lies doch mal den anderen Thread zu dieser Aufgabe.
> die Aufgabenstellung ist entweder unvollständig zitiert
> oder in sich widersprüchlich.
Dachte ich auch erst, ist aber nicht so.
> ENTWEDER wird so lange gespielt, bis jemand 3 Gewinnrunden
> Vorsprung hat
> ODER nach einer vorher festgelegten (???) Anzahl von
> Runden ist Schluss
Das war meine Vermutung. Sie erweist sich als unnötig.
> ODER falls irgendwann mal Gleichstand herrscht wird
> abgebrochen (was allerdings schon bei 0:0 der Fall wäre).
Gut, 0:0 muss ausgeschlossen werden.
Ansonsten reichen die beiden anderen Regeln zur vollständigen Spielbeschreibung. Es ist allerdings möglich, dass ein Spiel sehr lang oder gar unendlich lang dauert, aber je länger, desto unwahrscheinlicher.
> More information please.
Wie gesagt, lesen.
Und hier bitte nicht weitermachen, es handelt sich wahrscheinlich um eine Wettbewerbsaufgabe.
Es gibt aber schon eine kleine PN-Diskussion um die Lösung. Ich nehme an dem Wettbewerb nicht teil, Al auch nicht.
Grüße
reverend
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> ODER falls irgendwann mal Gleichstand herrscht wird
> abgebrochen (was allerdings schon bei 0:0 der Fall wäre).
Hallo Abakus,
Letzteres ist mir natürlich auch irgendwann noch
eingefallen - aber eigentlich (und vermutlich auch
im Sinne des Erfinders) bin ich davon ausgegangen,
dass dieses "Spiel" doch wenigstens begonnen
werden soll (mit einem ersten Münzwurf).
Wenn wir den Fall auch zulassen wollen, dass
das Spiel bei der Wurfzahl 0 und dem Spielstand
"Unentschieden" schon enden soll, bevor es über-
haupt angefangen hat, dann bewegen wir uns
zwar hin zu einem möglicherweise interessanten,
aber doch wenigstens auch überaus langweiligen
Spezialfall ...
In diesem Sinne: schöne Adventszeit ... 
LG , Al
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