Spiegelung & eukl. Bewegunge < Topologie+Geometrie < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 13:41 Di 26.06.2012 | | Autor: | m51va |
| Aufgabe | | Bezeichne [mm] \mathbb{E} [/mm] die euklidische Gruppe und seien s,g [mm] \in \mathbb{E}, [/mm] wobei [mm] s=s(O,\theta) [/mm] eine Drehung um den Punkt [mm] O\in \IR^2 [/mm] um den Winkel [mm] \theta [/mm] beschreibt und g beliebig ist. Man zeige, dass [mm] g\circ [/mm] s [mm] \circ g^{-1} [/mm] = [mm] s(g(O),\pm \theta) [/mm] gilt. Das Vorzeichen von [mm] \theta [/mm] ergibt sich aus Abbildung g, die orientierungserhaltend (+) oder orientierungsumkehrend (-) sein kann. |
Ich habe die Aufgabe aus dem Buch von D.L. Johnson "Symmetries" (Aufgabe 6.1) und weiß nicht so recht, wie ich das beweise, obwohl es mir ziemlich leicht aussieht.
[mm] g\in \mathbb{E} [/mm] kann eine Spiegelung, eine Drehung, eine Translation oder eine Gleitspiegelung sein. Sollte ich beim Beweis diese vier Fälle unterscheiden? Ich habs zuerst versucht, das nicht zu machen und mit der Orientierungserhaltung von g zu argumentieren bin aber nicht weit gekommen.
Kann mir jemand weiterhelfen?
Danke
m51va
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:47 Di 26.06.2012 | | Autor: | hippias |
Man koennte damit anfangen zu zeigen, dass $g(O)$ ein Fixpunkt von [mm] $gSg^{-1}$ [/mm] ist.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:41 Di 26.06.2012 | | Autor: | m51va |
Okay ich hab mich jetzt ein bisschen ausprobiert und noch einen Gedanken weitergeführt.
[mm] $gSg^{-1} [/mm] g(0) = gS(0)$
Da nun S nach Vorraussetzung 0 als Fixpunkt hat erhält man daher, dass g(0) ein Fixpunkt ist.
Wenn ich jetzt weiter zeigen kann, dass g(0) der einzige Fixpunkt dieser Komposition ist, dann habe ich doch schon gezeigt, dass es sich bei der Komposition [mm] $gSg^{-1}$ [/mm] um eine Spiegelung handeln muss (Translationen und Gleitspiegelungen haben keine Fixpunkte, Spiegelungen unendlich viele). kannst du mir dafür einen tipp geben?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:02 Di 26.06.2012 | | Autor: | hippias |
Das kannst Du genauso behandeln: Gelte [mm] $gSg^{-1}(x)= [/mm] x$. Was folgt dann fuer [mm] $g^{-1}(x)$ [/mm] und $S$? Was also muss $x$ dann sein?
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