Spiegelung an der Hyperebene < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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Hi alle zusammen,
hier mal eine Aufgabe:
Im [mm] IR^n [/mm] mit dem Standardskalarprodukt sei [mm] s_\textbf{v} [/mm] für einen Vektor [mm] \textbf{v} \neq [/mm] 0 die Spiegelung an der zu [mm] \textbf{v} [/mm] senkrechten Hyperebene.
a) Bestimmen Sie die Matrix S von [mm] s_\textbf{v} [/mm] bezüglich der Standardbasis
b) Sei [mm] \textbf{y} \in IR^n, \textbf{y} \neq [/mm] 0, beliebig. Finden Sie a [mm] \in [/mm] IR und [mm] \textbf{v} \in IR^n, [/mm] so dass [mm] s_\textbf{v} (\textbf{y}) [/mm] = [mm] a\textbf{e}_1 [/mm] (mit [mm] ^t\textbf{e}_1 [/mm] = (1,0,...,0) wie üblich).
c) Zeigen Sie: Ist A [mm] \in O_n(IR), [/mm] so giibt es Vektoren [mm] {v_1, ..., v_r} \in IR^n, [/mm] so dass A das Produkt der Matrizen [mm] S_i [/mm] zu de Spiegelungen [mm] s_{v_i} [/mm] ist.
[mm] \textbf{Hinweis:} [/mm] Benutzen Sie b) mit y = [mm] Ae_1 [/mm] um einen Vektor [mm] \textbf{v} [/mm] zu finden, für den in der ersten Spalte von [mm] s_v [/mm] A der Vektor [mm] e_1 [/mm] oder [mm] -e_1 [/mm] steht. Wenden Sie dann vollständige Induktion an.
Zu a)
Ist die folgende Matrix richtig?
[mm] \begin{center}
S = \pmat{
-v_1^2 + v_2^2 + ... + v_n^2 & \cdots & -2v_1^2 \\
-2v_1 v_2 & \cdots & \vdots
\\ \vdots & \cdots & \vdots
\\ \vdots & \cdots & - 2 v_{n-1} v_n
\\ -2 v_1 v_n & \cdots & v_1^2 + v_2^2 + \cdots + v_{n-1]^2 - v_n^2 }}
\end{center}
[/mm]
Kann mir irgendwer weiterhelfen?
MfG Andi
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Hallo, kann bitte irgendwer den Artikel in Uni-LineareAlgebra verlegen? Habe ihn ausversehen hier rein geschrieben!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:08 Do 19.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hallo,
es handelt sich hier offenbar um die Herleitung der Householder-Spiegelung. Die Matrix hiervon wird meist mit $ [mm] S=E-2*w*w^T=E-2*\bruch{v*v^T}{} [/mm] $ dargestellt wobei w ein normierter Vektor und v irgendeiner aus span(w) ist (und E die Einheitsmatrix).
Diese Darstellung kannst du hier aber nicht wirklich gebrauchen, man zeigt leicht, dass $ [mm] s_v(y)=y-2*\bruch{}{}*v [/mm] $
Insbesondere kannst du sehr leicht zeigen, dass dein [mm] s_v [/mm] mit diesem hier übereinstimmst indem du einmal v einsetzt und einmal einen zu v senkrechten vektor (also einen der Hyperebene).
In dieser Darstellung läßt sich dann auch jede Matrixdarstellung einfach finden, weil die Bilder der Basisvektoren die Spalten der Matrix sind, also einfach einsetzen und schauen, was rauskommt.
die Frage bei b) fehlt leider noch der Beweis, dass S orthogonal (bzw unitär im komplexen) ist, ist aber in der obersten Darstellung nur eine Einsetzungsgeschichte.
Zuerst kann man dann $ [mm] \alpha *e_1 [/mm] = [mm] y-2*\bruch{}{}*v [/mm] $ nach v auflösen, wobei der Bruch vor v eine reelle Zahl ist !!
Um alpha zu bekommen empfiehlt sich $ [mm] |\alpha |^2 =\parallel \alpha *e_1 \parallel _{2}^{2} [/mm] = [mm] ||S*y||_{2}^{2} [/mm] = [mm] (S*y)^T [/mm] *(S*y) $ weiter aufzulösen indem man die Orthogonalität nutzt.
so der eigentliche Knackpunkt ist nun c) : Ich weiß nicht genau, meinst du, dass A aus der orthogonalen Gruppe sein soll, dass also $ [mm] A^{-1}=A^T [/mm] $ ?
Wenn ja, was für Sätze bzgl der Gestalt von A kennst du schon?
Also man kann leicht zeigen, dass $ Q*R=A $ wobei Q das Produkt aus solchen S ist und R eine obere Dreiecksmatrix ist - du siehst also: das R strt hier ein wenig...
Ich werde mal noch ein etwas darüber nachdenken müssen, deshalb nur teilweise beantwortet.
EDIT: ich musst dies auch mal beweisen - habe dafür 2 Seiten gebraucht, deshalb warte ich mal ab, ob jemand anderes eine bessere Idee hat.
Übrigens geht es hier nicht um die QR-Zerlegung mittels Householder, sondern Spiegelungen im Allgemeinen, aber Householder baut hierauf extrem stark auf....
viele Grüße
DaMenge
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Kann mir nur mal wer die a) berechnen? Weil ich keine Ahnung habe was ich da genau machen muss. Bzw. kann mir jemand bestätigen, dass die Matrix so aussieht?
MfG Andi
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Do 19.05.2005 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
> Kann mir nur mal wer die a) berechnen? Weil ich keine
> Ahnung habe was ich da genau machen muss.
du musst doch nur die Standardvektoren als y in $ [mm] s_v(y)=y-2\cdot{}\bruch{}{}\cdot{}v [/mm] $ einsetzen...
> Bzw. kann mir
> jemand bestätigen, dass die Matrix so aussieht?
wenn du davon ausgehst, dass v normiert ist, also dass $ <v,v>=1 $ und du $ [mm] 1=v_1^2+..+v_n^2 [/mm] $ in deinen Standardvektor einsetzt, dann kommst du zu der Matrix, die du angegeben hast.
(naja der eintrag rechts oben müsste , glaube ich , $ [mm] -2v_1 *v_n [/mm] $ heißen)
Aber es steht bisher nicht da, dass v normiert ist und auserdem kann man die Matrix auch einfacher schreiben.
und noch ein edit: die Matrix könnte auch daraus entstanden sein, dass du die obige Gleichung von [mm] s_v [/mm] mit $ <v,v> $ multipliziert hast - ohne dass v normiert zu sein muss. Du siehst also, dass ohne ein paar mehr Worte von dir man nur raten kann.
[Daraus siehst du doch jetzt auch wohl, wie die Matrix lauten muss, oder?]
mfG
DaMenge
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> [Daraus siehst du doch jetzt auch wohl, wie die Matrix
> lauten muss, oder?]
Sorry ne.
Ich werde das jetzt einfach mal so machen wie ich es gemacht habe.
Ich habe wie du rausgefunden hast  mit <v,v> multipliziert.
MfG Andi
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Hallo Andi,
Das v muß eben normiert sein wie DaMenge schon gesagt hat. Wenn Du dies nicht tust ist der gespiegelte Punkt weiter/näher an der Hyperebene als der Orginalpunkt.
viele Grüße
mathemaduenn
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