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| Aufgabe | Zeigen Sie:
Ist f: (a,b) -> [mm] \IR [/mm] , a < b, in einem Punkt [mm] x_{0} \in [/mm] (a,b) differenzierbar, so existiert der Grenzwert
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)}{2h}
[/mm]
und ist gleich [mm] f'(f(x_{0}). [/mm] |
Hallo zusammen,
erstmal eine kurze Anmerkung zur Aufgabenstellung. Der Limes beudet natürlich h->0.
Weiss nicht wirklich wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Die richtige Definition mittels Limes (h-Methode) für die Differenzierbarkeit sieht ja nur unwesentlich anders aus, als der Ausdruck, der hier in dieser Aufgabe vorgelegt wird.
Hat jemand einen Vorschlag?
Viele Grüße
kaykay_22
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:14 Do 24.01.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Noch eine kurze Anmerkung, oben hat sich noch ein Fehler eingeschlichen, ganz am Ende:
".... und ist gleich [mm] f'(x_{0})".
[/mm]
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Hiho,
füge im Zähler [mm] $-f(x_0) [/mm] + [mm] f(x_0)$ [/mm] ein.
MFG,
Gono.
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dann erhalte ich:
[mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}
[/mm]
= [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] - [mm] \limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h}
[/mm]
Hierbei ist ja der erste Teil der "richtige" Differenzenquotient. Aber was mache ich mit dem zweiten Teil?
Komme irgendwie immer noch nicht weiter...
Danke und Gruss
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:20 Fr 25.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> dann erhalte ich:
>
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0}-h)+f(x_{0})-f(x_{0})}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)-f(x_{0})}{h}[/mm]
Da stimmt ein Vorzeichen nicht. Richtig:
= [mm]\limes_{h\rightarrow
0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h}[/mm]
>
> = [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}[/mm] -
> [mm]\limes_{h\rightarrow\0} \bruch{f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h}[/mm]
>
> Hierbei ist ja der erste Teil der "richtige"
> Differenzenquotient. Aber was mache ich mit dem zweiten
> Teil?
>
> Komme irgendwie immer noch nicht weiter...
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})-f(x_{0}-h)+f(x_{0})}{h} [/mm] $=$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} [/mm] + [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{-f(x_0-h)+f(x_0)}{h}$ =$\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} +\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h}$
[/mm]
Kommst Du jetzt weiter ?
FRED
> Danke und Gruss
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Sorry erstmal für meine VZ-Rechenfehler.
Aber naja... also der erste GW, ist ja sozusagen die Definition für die Differenzierbarkeit (also wenn er existiert). Aber was mache ich mit dem zweiten Limes? Sollte mir daran irgendetwas auffallen? Weiss nicht, wie ich mit diesem [mm] "f(x_{0}-h)" [/mm] umgehen soll.
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Hallo kaykay_22,
> Sorry erstmal für meine VZ-Rechenfehler.
Da ist obendrein noch die 2 aus dem Nenner verlorengegangen ...
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> Aber naja... also der erste GW, ist ja sozusagen die
> Definition für die Differenzierbarkeit (also wenn er
> existiert). Aber was mache ich mit dem zweiten Limes?
> Sollte mir daran irgendetwas auffallen? Weiss nicht, wie
> ich mit diesem <img class="latex" _cke_realelement="true" alt="$" [mm] f(x_{0}-h)"$"="" [/mm] src="http://teximg.matheraum.de/render?d=108&s=$" [mm] f(x_{0}-h)""=""> [/mm] umgehen soll.
Wenn $h$ gegen 0 geht, dann doch auch $-h$
Von mir aus setze $t:=-h$ und betrachte [mm] $t\to [/mm] 0$
Beachte, dass beide Male noch der Faktor $1/2$ dazukommt ...
Gruß
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:19 Fr 25.01.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Also hab ich sozusagen beides mal lim 0,5 von dem gleichen?
also insgesamt genau 1x?
Kann man das irgendwie formal aufschreiben?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:38 Fr 25.01.2013 | | Autor: | kaykay_22 |
Hat sich glaube ich geklärt. Man kann die 1/2 ja mittels der GW-Sätze jeweils rausziehen. Nur habe ich dann trotzdem noch zwei limes, die verschieden aussehen, auch wenn sie aufs gleiche herauslaufen...
Wie kann man das schreiben?
Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:22 Sa 26.01.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hat sich glaube ich geklärt. Man kann die 1/2 ja mittels
> der GW-Sätze jeweils rausziehen. Nur habe ich dann
> trotzdem noch zwei limes, die verschieden aussehen, auch
> wenn sie aufs gleiche herauslaufen...
> Wie kann man das schreiben?
$ [mm] \limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h} +\limes_{h\rightarrow 0} \bruch{f(x_0-h)-f(x_0)}{-h} =f'(x_0)+f'(x_0)=2f'(x_0)$
[/mm]
FRED
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> Vielen Dank schonmal für die Hilfe!
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