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Die spezielle orthogonale Gruppe ist SO3(R) = {A ∈ Mat3(R) : [mm] AA^t [/mm] = E3 und detA = 1}.
a) Beweisen Sie, dass SO3(R) eine Untergruppe von GL3(R) ist.
b) Zeigen Sie, det(E3 −A) = 0 f¨ur jede Matrix A ∈ SO3(R), d.h. 1 ist ein Eigenwert von A. [Hinweis: (E3 − A)At = (A − [mm] E3)^t.]
[/mm]
Hallo!
Aufgabenteil a) habe ich gelöst,
ich weiss, dass A^(-1) = [mm] A^t [/mm] gilt.
bei b) komme ich leider nicht weiter. Und leider hilft der Hinweis nicht viel.
Ich wäre froh, wenn jemand noch einen kleinen Tipp zusätzlich hätte, wie ich da anfangen soll. Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:29 So 19.03.2017 | | Autor: | Chris84 |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
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> Die spezielle orthogonale Gruppe ist SO3(R) = {A ∈
> Mat3(R) : [mm]AA^t[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
= E3 und detA = 1}.
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> a) Beweisen Sie, dass SO3(R) eine Untergruppe von GL3(R)
> ist.
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> b) Zeigen Sie, det(E3 −A) = 0 f¨ur jede Matrix A ∈
> SO3(R), d.h. 1 ist ein Eigenwert von A. [Hinweis: (E3 −
> A)At = (A − [mm]E3)^t.][/mm]
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> Hallo!
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> Aufgabenteil a) habe ich gelöst,
> ich weiss, dass A^(-1) = [mm]A^t[/mm] gilt.
> bei b) komme ich leider nicht weiter. Und leider hilft der
> Hinweis nicht viel.
> Ich wäre froh, wenn jemand noch einen kleinen Tipp
> zusätzlich hätte, wie ich da anfangen soll. Vielen Dank!
>
Huhu,
fange doch einfach mal an, in der Hinweisgleichung die Determinante zu bilden (unter Verwendung der Determinantengesetze), also
[mm] $\det [/mm] ( [mm] (E_3 [/mm] - [mm] A)A^{T})=...$
[/mm]
Dann ergibt sich der Rest von ganz alleine :)
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Hallo! :)
ich hatte schon versucht weiter umzuformen, aber ich komme ab einem bestimmten Punkt nicht weiter. Das was ich hinbekomme sind die Schritte bis zum Ergebnis des Hinweises.
[mm] det((E-A)A^t) [/mm] = [mm] det(EA^t [/mm] - [mm] AA^t) [/mm] = [mm] det(A^t [/mm] - E) = [mm] det(A^t [/mm] - [mm] E^t) [/mm] = [mm] det(A-E)^t
[/mm]
Also wie der Hinweis zustande kommt, verstehe ich. Ich weiss nur ab hier nicht mehr weiter.. :(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:15 So 19.03.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo! :)
> ich hatte schon versucht weiter umzuformen, aber ich komme
> ab einem bestimmten Punkt nicht weiter. Das was ich
> hinbekomme sind die Schritte bis zum Ergebnis des
> Hinweises.
>
> [mm]det((E-A)A^t)[/mm] = [mm]det(EA^t[/mm] - [mm]AA^t)[/mm] = [mm]det(A^t[/mm] - E) = [mm]det(A^t[/mm] -
> [mm]E^t)[/mm] = [mm]det(A-E)^t[/mm]
>
> Also wie der Hinweis zustande kommt, verstehe ich. Ich
> weiss nur ab hier nicht mehr weiter.. :(
Naja, es ist also
[mm] $\det((E-A)A^t) [/mm] = [mm] \det(A-E)^t$
[/mm]
Links kannst du das auseinander ziehen zu
[mm] $\det((E-A)A^t)=\det (E-A)\cdot\det (A^t)$ [/mm] (was weisst du ueber [mm] $\det(A^t)$?)
[/mm]
Rechts steht die Determinante der negativ Transponierten der Matrix links? Wie kannst du das gewinnbringend anwenden? :)
Chris
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Hallo!
Sorry, ich sehe es immer noch nicht.
[mm] Det(A^t) [/mm] = 1
[mm] A^t [/mm] = A^(-1)
Also A = A^(-t)
Also ist Det(E-A) * [mm] det(A^t) [/mm] = [mm] det(EA^t [/mm] - [mm] A^{-t}A^t) [/mm] = [mm] det(A^t [/mm] -E)
Aber das hilft mir ja nicht weiter oder? Tut Mir leid, ich glaub ich steh irgendwo grad völlig auf dem schlauch..
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:53 Mo 20.03.2017 | | Autor: | fred97 |
Wir haben also:
[mm] $det(E-A)=det((A-E)^t)$
[/mm]
Wegen [mm] $det((A-E)^t)=det(A-E)$ [/mm] folgt also:
$det(A-E)=det(E-A)=det (-(A-E))$.
Jetzt verwende, dass es sich um $3 [mm] \times [/mm] 3$ - Matrizen handelt.
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wie ist das gemeint?
Soll ich für das für ein allgemeines A =
[mm] \begin{pmatrix}
a & b & c \\
d & e & f \\
g & h & i
\end{pmatrix} [/mm]
berechnen?
Danke!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 20:50 Mo 20.03.2017 | | Autor: | Chris84 |
Naja, es geht ja darum, was mit dem negativen einer 3x3 Matrix passiert, also wie sich
[mm] $\det [/mm] (-B), [mm] B\in \IR^{3\times 3}$
[/mm]
zu [mm] $\det [/mm] (B)$ verhaelt.
Du koenntest natuerlich das allgemein fuer 'ne beliebige Matrix ausrechnen, aber du weisst bestimmt, wie man [mm] $\det (\lambda\cdot [/mm] B), [mm] \lambda\in\IR$ [/mm] umformt. Da gibt es so ein kleines Gesetz....
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Hallo,
dass mit dem Skalar weiss ich:
det(λ∗A)=λ^n ∗det(A)
wobei n die Spaltenanzahl ist.
Mein Verständnisproblem ist bei dem det(-A)?
Wie komme ich darauf?
Ich komme immer auf det(E-A)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:12 Mo 20.03.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Hallo,
> dass mit dem Skalar weiss ich:
> det(λ∗A)=λ^n ∗det(A)
> wobei n die Spaltenanzahl ist.
Ja... und hier (also auf der rechten Seite) ist doch [mm] $\lambda [/mm] = -1$.
> Mein Verständnisproblem ist bei dem det(-A)?
> Wie komme ich darauf?
> Ich komme immer auf det(E-A)
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Es tut mir leid,
ich fühl mich langsam wirklich ziemlich dämlich.
det(E-A) ist doch eine Differenz, wie kann ich das so umformen dass ich auf ein Produkt mit Lambda = -1 komme?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:41 Mo 20.03.2017 | | Autor: | Chris84 |
Na, du hast doch schon alles zusammen, was du brauchst:
FRED hat ja schon geschrieben, dass
det (E-A)=det(-(E-A))
Was passiert nun rechts mit dem Minuszeichen vor der Klammer in der Determinante?
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Das wird zu [mm] (-1)^3 [/mm] * det(E-A), also zu (-1) det(E-A)
Wenn det(E-A ) = -det(E-A)
Dann: 2det(E-A) =0
Also det(E-A) = 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:13 Mo 20.03.2017 | | Autor: | Chris84 |
> Das wird zu [mm](-1)^3[/mm] * det(E-A), also zu (-1) det(E-A)
>
> Wenn det(E-A ) = -det(E-A)
> Dann: 2det(E-A) =0
> Also det(E-A) = 0
Ja, nun hast du's ;)
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:39 Mo 20.03.2017 | | Autor: | mariella22 |
Puh.. :) danke für die Hilfe bei der schweren Geburt...
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