Spezielle Abbildungen < Sonstiges < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Prüfe welche der folgenden Abbildungen f: R*R [mm] \to [/mm] R*R injektiv, bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind:
1. f(x,y) = [mm] (x+y^2, [/mm] y+2)
2. f(x,y) = [mm] (x-y,x^2-y^2)
[/mm]
3. f(x,y) = (x*y,x+y)
Ist f bijektiv, so gib die Umkehrabbildung an. |
Hallo,
also ich habe gerade mit meinem Studium angefangen und es fällt mir im Moment noch etwas schwer an die neuen Themen und Schreibweisen zu gewöhnen.
Zu 1.) Also bei der ersten Aufgabe wollte ich erstmal fragen, ob ich es richtig gemacht habe:
Voraussetzung für injektiv:
Seien (x1,y1), (x2,y2) element von R*R mit f(x1,y1)=f(x2,y2) dann muss (x1,y1)=(x2,y2) gelten.
Durch die Voraussetzung kan man zwei Gleichungen aufstellen:
1. x1 + [mm] y1^2 [/mm] = x2 + [mm] y2^2
[/mm]
2. y1 +2 = y2 +2
Also dann habe ich die beiden Gleichungen einfach kombiniert und erhalte auch, dass x1 = x2 ist. Somit ist es dann injektiv.
Zwar kann ich die Bedingung für Surjektivität aufstellen allerdings versteh ich nicht wie ich es in der Aufgabe anwenden kann.
Zu 2.) Hier habe ich zwei Paare f(1,1) und f(2,2) genommen und gezeigt, dass beide dem Paar (0,0) zugeordnet werden. Also nicht injektiv.
Nun weiss ich nicht, ob das reicht oder ob man es auch allgemein beweisen kann?
Zur Surjektivität habe ich dasselbe Problem wie bei der 1.Aufgabe.
zu 3.) Also hier habe ich auch einfach ein zahlenbeispiel genommen, um zu beweisen, dass die Abbildung nicht injektiv ist.
Und zwar habe ich f(0,1) und f(1,0) als Paare genommen und damit gezeigt, dass beide dem selben Paar (0,1) zugeordnet werden. Somit nicht injektiv.
Für die Umkehrabbildungen brauche ich sowohl Injektivität als auch Surjektivität zu beweisen. (Surjektivität verstehe ich halt noch nicht)
Reicht es allgemein, wenn ich bei Umkehrabbildungen x und y einfach vertausche?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
|
|
| |
|
Hallo Heureka89 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") ,
> Prüfe welche der folgenden Abbildungen f: R*R [mm]\to[/mm] R*R
> injektiv, bzw. surjektiv bzw. bijektiv sind:
> 1. f(x,y) = [mm](x+y^2,[/mm] y+2)
> 2. f(x,y) = [mm](x-y,x^2-y^2)[/mm]
> 3. f(x,y) = (x*y,x+y)
> Ist f bijektiv, so gib die Umkehrabbildung an.
Kleiner Tipp: [mm] $\IR\times \IR$ [/mm] kannst du so eintippen: \IR\times \IR
> Hallo,
>
> also ich habe gerade mit meinem Studium angefangen und es
> fällt mir im Moment noch etwas schwer an die neuen Themen
> und Schreibweisen zu gewöhnen.
>
> Zu 1.) Also bei der ersten Aufgabe wollte ich erstmal
> fragen, ob ich es richtig gemacht habe:
> Voraussetzung für injektiv:
> Seien (x1,y1), (x2,y2) element von R*R mit
> f(x1,y1)=f(x2,y2) dann muss (x1,y1)=(x2,y2) gelten.
> Durch die Voraussetzung kan man zwei Gleichungen
> aufstellen:
> 1. x1 + [mm]y1^2[/mm] = x2 + [mm]y2^2[/mm]
> 2. y1 +2 = y2 +2
> Also dann habe ich die beiden Gleichungen einfach
> kombiniert und erhalte auch, dass x1 = x2 ist. Somit ist es
> dann injektiv. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> Zwar kann ich die Bedingung für Surjektivität aufstellen
> allerdings versteh ich nicht wie ich es in der Aufgabe
> anwenden kann.
Wenn es surjektiv wäre, so gäbe es zu jedem [mm] $(u,v)\in\IR^2$ [/mm] ein Tupel $(x,y)$ mit $f(x,y)=(u,v)$
Das gibt dir wieder 2 Gleichungen:
(I) [mm] $x+y^2=u$
[/mm]
(II) $y+2=v$
Versuche, $x,y$ in $u$ und $v$ auszudrücken ...
>
> Zu 2.) Hier habe ich zwei Paare f(1,1) und f(2,2) genommen
> und gezeigt, dass beide dem Paar (0,0) zugeordnet werden.
> Also nicht injektiv.
> Nun weiss ich nicht, ob das reicht oder ob man es auch
> allgemein beweisen kann?
Zum Widerlegen genügt doch 1 Gegenbeispiel, das hast du hiermit
> Zur Surjektivität habe ich dasselbe Problem wie bei der
> 1.Aufgabe.
Du kannst genauso wie bei 1 ansetzen und wirst sehen, dass es irgendwo unterwegs kaputt geht
Welches ist zB das Urbild von $(u,v)=(0,1)$ ?
>
>
> zu 3.) Also hier habe ich auch einfach ein zahlenbeispiel
> genommen, um zu beweisen, dass die Abbildung nicht injektiv
> ist.
> Und zwar habe ich f(0,1) und f(1,0) als Paare genommen und
> damit gezeigt, dass beide dem selben Paar (0,1) zugeordnet
> werden. Somit nicht injektiv.
>
> Für die Umkehrabbildungen brauche ich sowohl Injektivität
> als auch Surjektivität zu beweisen. (Surjektivität verstehe
> ich halt noch nicht)
> Reicht es allgemein, wenn ich bei Umkehrabbildungen x und
> y einfach vertausche?
Nein, nehmen wir zB. (1). Die Funktion dort ist bijektiv, schreibe [mm] $f(x,y)=(u,v)=(x+y^2,y+2)$
[/mm]
Dann hast du [mm] $u=x+y^2\wedge [/mm] v=y+2$
Das löse nach $x$ und $y$ auf und tausche dann [mm] $x\leftrightarrow u$, $y\leftrightarrow v$
>
>
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt
>
LG
schachuzipus
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
Danke erstmal für die Antwort.
Also habe in 1.) die Gleichungen für die Surjektivität gelöst:
[mm] f(u-(v-2)^2,v-2) [/mm] = (u,v)
Bedeutet es, die Abbildung ist surjektiv, weil sie nicht mehr von x und y abhängt, sondern nur von u und v?
Wäre die Umkehrabbildung dann [mm] f^-1(x-y^2,y-2) \to [/mm] (x,y) richtig?
Zu 2.) also bei zwei krige ich die Gleichungen:
1. x*y=u
2. x+y=v
Da es hier anscheinend nicht gelingt x,y in u und v auszudrücken ist die Abbildung nicht surjektiv, oder?
Das mit dem Urbild verstehe ich nicht ganz. Das Urbild von (0,1) wäre doch (0,1).
|
|
|
| |
|
Hallo nochmal,
> Hallo nochmal,
>
> Danke erstmal für die Antwort.
> Also habe in 1.) die Gleichungen für die Surjektivität
> gelöst:
> [mm]f(u-(v-2)^2,v-2)[/mm] = (u,v)
> Bedeutet es, die Abbildung ist surjektiv, weil sie nicht
> mehr von x und y abhängt, sondern nur von u und v?
Hmm, eher, weil du zu jedem [mm] $(u,v)\in\IR^2$ [/mm] ein wohldefiniertes Urbild [mm] $(x,y)=(u-(v-2)^2,v-2)$ [/mm] finden kannst mit $f(x,y)=(u,v)$
> Wäre die Umkehrabbildung dann [mm]f^-1(x-y^2,y-2) \to[/mm] (x,y)
> richtig? ![[kopfkratz3]](/images/smileys/kopfkratz3.gif "[kopfkratz3]")
Diese Notation ist komisch ...
Ich habe [mm] $f^{-1}(x,y)=(x-(\red{y-2})^2,y-2)$
[/mm]
>
> Zu 2.) also bei zwei krige ich die Gleichungen:
> 1. x*y=u
> 2. x+y=v
> Da es hier anscheinend nicht gelingt x,y in u und v
> auszudrücken ist die Abbildung nicht surjektiv, oder?
Zumindest gelingt das wohl nicht eindeutig, ich denke, hier ist es einfacher, sich auf die Suche nach einem Gegenbeispiel zu machen.
Ich finde zB. für $(1,0)$ kein Tupel $(x,y)$ mit $f(x,y)=(1,0)$
Wenn es eines gäbe, so wäre ja [mm] $xy=1\wedge [/mm] x+y=0$, also [mm] $xy=1\wedge [/mm] x=-y$, also [mm] $-y^2=1$ [/mm] ...
> Das mit dem Urbild verstehe ich nicht ganz. Das Urbild von
> (0,1) wäre doch (0,1).
Ich bezog mich damit auf (2), du redest hier von (3) - zumindest nach deiner Notation in der Ausgangsfrage 
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Danke schachuzipus für deine Antworten!
Habe denk ich alles verstanden.
Allerdings habe ich noch eine letzte Frage: Wenn ich bei 1.) von Anfang an gewusst hätte, dass die Abbildung bijektiv ist, gäbe es dann eine Möglichkeit die Umkehrabbildung anders zu bilden als mit u und v?
|
|
|
| |
|
Hallo!
nun, 1000 Wege führen nach Rom. Aber das hier ist ja nur eine Sache der Notation?
Grüße Elvis.
|
|
|
|
