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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:08 Di 05.02.2008 | | Autor: | ernstl |
| Aufgabe | Aus einer Tüte mit 2 roten und 8 gelben Gummibärchen werden der Reihe nach 3 Gummibärchen entnommen. Die Gummibärchen sind von 1 bis 10 durchnummeriert. Nummer und Reihenfolge der gezogenen Gummibärchen wird protokolliert. Wie viele verschiedene Kombinationen sind bei der Entnahme von drei Gummibärchen möglich, wenn man:
a) Reihenfolge aber nicht Nummerierung beachtet?
b) weder Nummerierung noch Reihenfolge beachtet? |
Bei a) handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem man die Reihenfolge beachten muss, ohne Zurückzulegen. Hier gilt es nicht die Nummerierung der Kugel, sondern allein die Farbe zu betrachten. Also n= 2.
==> Anzahl Kombinationen := n!/(n-k)!
n = 2 (Ereignisse "rot" und "gelb")
k = 3 (3 mal Ziehen)
Das doofe an der Sache: hier ist k > n und die Gleichung geht nicht auf. Die Lösung zu der Aufgabe ist dann mittels aller Kombinationen per Hand zu erledigen, also:
rrr <-- fällt weg, 3 rote gibts nicht
rrg
rgr
rgg
grr
grg
ggr
ggg
Antwort: 7 Kombinationen
b) Ist ein Experiment bei dem man die Reihenfolge egal ist, ohne Zurückzulegen.
==> Anz. Kombinationen wäre eigentlich "n ÜBER k" = n!/(k!(n-k)!)
Auch hier gilt leider: k > n. Formel geht also nicht. Lösung wäre analog zu a zu machen:
rrr <-- fällt weg, 3 rote gibts nicht
rrg
rgr <-- fällt weg (2 rote ein gelbes gibts schon)
rgg
grr <-- weg
grg <-- weg
ggr <-- weg
ggg
Antowrt: 3 mgl Kombinationen.
Jetzt meine eigentlich Frage!
Gibt es in den beiden Fällen für k > n einen Trick, eine Spezialformel oder ähnliches? Für größere Zahlen ist es doch unpraktisch und in der Klausur verhaspel ich mich leicht.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:16 Mi 06.02.2008 | | Autor: | koepper |
Hallo,
> Aus einer Tüte mit 2 roten und 8 gelben Gummibärchen werden
> der Reihe nach 3 Gummibärchen entnommen. Die Gummibärchen
> sind von 1 bis 10 durchnummeriert. Nummer und Reihenfolge
> der gezogenen Gummibärchen wird protokolliert. Wie viele
> verschiedene Kombinationen sind bei der Entnahme von drei
> Gummibärchen möglich, wenn man:
>
> a) Reihenfolge aber nicht Nummerierung beachtet?
> b) weder Nummerierung noch Reihenfolge beachtet?
warum ist in der Aufgabe überhaupt von einer Nummerierung die Rede, wenn sie hinterher nirgendwo beachtet wird?
![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
> Bei a) handelt es sich um ein Zufallsexperiment, bei dem
> man die Reihenfolge beachten muss, ohne Zurückzulegen. Hier
> gilt es nicht die Nummerierung der Kugel, sondern allein
> die Farbe zu betrachten. Also n= 2.
>
> ==> Anzahl Kombinationen := n!/(n-k)!
Diese Formel ist nur anwendbar, wenn alle gezogenen Elemente unterschieden werden.
Dieser Fall ist nicht mit einem kombinatorischen Standardverfahren lösbar.
> n = 2 (Ereignisse "rot" und "gelb")
> k = 3 (3 mal Ziehen)
> Das doofe an der Sache: hier ist k > n und die Gleichung
> geht nicht auf.
purer Zufall: Für $k [mm] \leq [/mm] n$ würde sie zwar "aufgehen" aber die Lösung wäre falsch.
> Die Lösung zu der Aufgabe ist dann mittels
> aller Kombinationen per Hand zu erledigen, also:
im Prinzip ja.
> rrr <-- fällt weg, 3 rote gibts nicht
> rrg
> rgr
> rgg
> grr
> grg
> ggr
> ggg
>
> Antwort: 7 Kombinationen
richtig. Aber es ging hier etwas einfacher:
Du könntest zunächst so tun, als ob alle Farben hinreichend oft im Topf wären und damit die Formel mit Zurücklegen anwenden. Am Ende wäre dann die einzige unmögliche Kombination abzuziehen: [mm] $2^3 [/mm] - 1 = 7.$
> b) Ist ein Experiment bei dem man die Reihenfolge egal ist,
> ohne Zurückzulegen.
>
> ==> Anz. Kombinationen wäre eigentlich "n ÜBER k" =
> n!/(k!(n-k)!)
>
> Auch hier gilt leider: k > n. Formel geht also nicht.
siehe meine Kommentare oben: Für n über k müssen alle Elemente unterscheidbar sein.
> Lösung wäre analog zu a zu machen:
>
> rrr <-- fällt weg, 3 rote gibts nicht
> rrg
> rgr <-- fällt weg (2 rote ein gelbes gibts schon)
> rgg
> grr <-- weg
> grg <-- weg
> ggr <-- weg
> ggg
>
> Antowrt: 3 mgl Kombinationen.
Einfacher wieder: Formel für Ziehen mit Zurücklegen ohne Beachtung der Reihenfolge anwenden und einzige nicht machmare Möglichkeit abziehen:
Anzahl Mgl. für k=3 mal Ziehen aus n=2 Farben = ${3+2-1 [mm] \choose [/mm] 3} = 4$.
Dann Eins abziehen.
> Jetzt meine eigentlich Frage!
> Gibt es in den beiden Fällen für k > n einen Trick, eine
> Spezialformel oder ähnliches?
leider keine Spezialformel. Den "Trick" habe ich oben gezeigt: Man nehme den "ähnlichsten" Fall und korrigiere das Ergebnis entsprechend. Für die "Korrektur" kann man ggf. wieder einen kombinatorischen Standardfall verwenden.
> Für größere Zahlen ist es
> doch unpraktisch und in der Klausur verhaspel ich mich leicht.
Vertraue darauf, daß du die Aufgabe in der Klausur nur mit handhabbaren Zahlen bekommst, wo das oben beschriebene Korrekturverfahren mit vertretbarem Aufwand durchführbar ist.
LG
Will
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