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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:47 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Gianni |
| Aufgabe | | Zeigen Sie, dass die Spektralnorm bezüglich einer Matrix A aus dem [mm] \IC^_{n\times n} [/mm] eine Norm ist. |
Hallo alle zusammen,
Also, für eine Norm müssen ja folgende Bedingungen erfüllt sein:
(i) Definitheit:$||A||>0 \ \ \ ||A||=0 [mm] \gdw [/mm] A=0$
(ii) Homogenität:$ || [mm] \lambda A||=|\lambda [/mm] | ||A||$
(iii) Dreiecksungleichung: [mm] $||A+B||\le [/mm] ||A|| + ||B||$
Die Spektralnorm ist definiert als: [mm] \wurzel{max Spektrum(A^{H}A})
[/mm]
Das heißt, es ist der größte Eigenwert der Matrix [mm] $A^{H}A$ [/mm] zu bestimmen,
wobei [mm] A^{H} [/mm] für $A$ hermitesch steht und damit gemeint ist, dass die
Matrix komplex konjugiert und dann transponiert wird.
Die ersten beiden Bedingungen konnte ich nachweisen dank des Umstandes, dass$ [mm] A^{H} [/mm] A $eine hermitesche(symmetrische) Matrix ist
und auch positiv defint ist, was sich über eine quadratische Form zeigen
läßt.
Nur an der Dreiecksungleichung beiße ich mir leider die Zähne aus.
Ich müßte zeigen, dass
größter EW von [mm] $(A+B)^{H}(A+B)\le [/mm] $ größter [mm] EW$(A^{H}A)$ [/mm] + größter [mm] EW$(B^{H}B)$ [/mm] ist.
Trotz aller Überlegungen und IT- bzw Literaturrecherchen finde ich keinen
brauchbaren Ansatz.
Vielleicht hat ja von euch jemand eine Idee, wie man sowas zeigen kann,
mir jedenfalls sind hier die mathematisch stichhaltigen Argumente aus-
gegangen.
Danke und schönen Tag noch
Gianni
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt
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Hallo gianni,
ich sehe jetzt spontan auch kein argument für die gültigkeit der dreiecks-ungleichung.
Allerdings kannst du die aufgabe vielleicht über einen kleinen umweg leichter erledigen:
die spektralnorm ergibt sich ja als die von der euklidischen standard-norm [mm] ($\|.\|_2$-Norm) [/mm] induzierte matrixnorm.
je nachdem, welche theoreme/sätze du voraussetzen kannst, genügt es also eventuell, diese eigenschaft zu zeigen. Dass abgeleitete matrixnormen (egal von welcher norm!) die norm-axiome erfüllen, solltet ihr benutzen dürfen.
VG
Matthias
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:41 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Gianni |
Hallo Matthias,
unter Benutzung dieses Satzes von abgeleiteten Matrixnormen
ist es mir schon möglich zu zeigen, dass es sich um die von der
euklidischen Norm induzierte Operatornorm handelt.
Danke also für den Hinweis und die schnelle Antwort
lg
Gianni
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