Spektraler Radius Ungleichung < Eigenwerte < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:11 So 29.01.2023 | | Autor: | Jellal |
Hi zusammen,
kann mir wer sagen, ob die folgende Ungleichung immer wahr ist?
Sei A eine reelle, quadratische Matrix, x ein reeller Spaltenvektor passender Laenge.
Gilt dann [mm] ||Ax||_{2}^{2} [/mm] = [mm] x^{T}A^{T}Ax \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2} [/mm] mit [mm] \rho(B) [/mm] als spektralem Radius von Matrix B?
VG.
Jellal
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Hiho,
ja das gilt, nur fehlt bei dir halt die Begründung…
Gruß,
Gono
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:24 Di 31.01.2023 | | Autor: | Jellal |
Begruendung, hmm ^_^"
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 09:21 Mo 30.01.2023 | | Autor: | fred97 |
> Hi zusammen,
>
> kann mir wer sagen, ob die folgende Ungleichung immer wahr
> ist?
>
> Sei A eine reelle, quadratische Matrix, x ein reeller
> Spaltenvektor passender Laenge.
>
> Gilt dann [mm]||Ax||_{2}^{2}[/mm] = [mm]x^{T}A^{T}Ax \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}[/mm]
> mit [mm]\rho(B)[/mm] als spektralem Radius von Matrix B?
>
> VG.
> Jellal
Die Spektralnorm einer quadratischen Matrix $B$ ist def. durch
[mm] $||B||_2= \max \{ ||Bx||_2: ||x||_2=1\}.$
[/mm]
Ist $B$ symmetrisch , so ist [mm] $||B||_2= \rho(B).$
[/mm]
Ist $A$ wie in Deiner Frage, so ist $B: =A^TA$ symmetrisch.
Kommst Du damit weiter ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:23 Di 31.01.2023 | | Autor: | Jellal |
Hallo Fred,
danke fuer die Antwort!
Noch nicht ganz.
Erst mal habe ich mit deiner Bemerkung
[mm] \rho(A^TA) [/mm] = [mm] ||A^TA||_2 \ge [/mm] || [mm] A^{T}A \bruch{x}{||x||_2} ||_2=\bruch{||A^TAx||_2}{||x||_2}, [/mm] also
[mm] ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm]
[mm] ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}
[/mm]
Aber mit welcher Magie wird [mm] ||x||_{2} ||A^TAx||_2 [/mm] = [mm] x^{T}A^{T}Ax [/mm] ?
VG und sorry fuer die spaete Reaktion!
edit: Ah, die Abschaetzung geht weiter.
Man hat fuer zwei Vektoren u und v stets [mm] u^T [/mm] v [mm] \le ||u||_2 ||v||_{2},
[/mm]
also gilt fuer mich [mm] x^{T}A^{T}Ax \le ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}.
[/mm]
Korrekt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:35 Mi 01.02.2023 | | Autor: | fred97 |
> Hallo Fred,
>
> danke fuer die Antwort!
>
> Noch nicht ganz.
> Erst mal habe ich mit deiner Bemerkung
> [mm]\rho(A^TA)[/mm] = [mm]||A^TA||_2 \ge[/mm] || [mm]A^{T}A \bruch{x}{||x||_2} ||_2=\bruch{||A^TAx||_2}{||x||_2},[/mm]
> also
>
> [mm]||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_2[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm]
>
> [mm]||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}[/mm]
>
> Aber mit welcher Magie wird [mm]||x||_{2} ||A^TAx||_2[/mm] =
> [mm]x^{T}A^{T}Ax[/mm] ?
>
>
> VG und sorry fuer die spaete Reaktion!
>
> edit: Ah, die Abschaetzung geht weiter.
> Man hat fuer zwei Vektoren u und v stets [mm]u^T[/mm] v [mm]\le ||u||_2 ||v||_{2},[/mm]
>
> also gilt fuer mich [mm]x^{T}A^{T}Ax \le ||x||_{2} ||A^TAx||_2 \le \rho(A^TA)||x||_{2}^{2}.[/mm]
>
> Korrekt?
Korrekt
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:00 Mi 01.02.2023 | | Autor: | Jellal |
Vielen Dank!!
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