Spatvolumen < Sonstiges < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:27 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loon |
| Aufgabe | | Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, das durch folgendes Fünfeck eingegrenzt wird: A (0/0/0), B(1/1/1), C(2/3/3), D (2/5/5), E (1/4/4). Die Spitze der Pyramide hat die Koordinaten S (0/0/8). Zeigen Sie zunächst, dass es sich bei ABCDE um ein Fünfeck handelt. |
Hallo,
ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, da wir sie auf zwei verschiedene Arten lösen sollen. Ich habe bereits gezeigt, dass es sich bei ABCDE um ein Fünfeck handelt, allerdings komme ich jetzt nicht weiter.
Als Hilfen hat unser Lehrer formuliert:
Weg 1: Über drei Vierflache lösen.
Weg 2: Über Bestimmen der Grundfläche und des Abstandes von S zu ABCDE lösen.
Unter Rechenweg 1 kann ich mir überhaupt nichts vorstellen, könnte mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
Bei Weg Nummer 2 bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich verstanden habe, was gemeint ist. Normalerweise würde ich das Volumen über das Spatprodukt bestimmen, beispielsweise mit den Vektoren zwischen A und B, A und C und A und S. Ist dies der Rechenweg, den wir bei der zweiten Lösungsmöglichkeit anwenden sollen?
Ich würde mich echt über Tipps freuen...
Lg, Loon
|
|
| |
|
> Bestimmen Sie das Volumen der Pyramide, das durch folgendes
> Fünfeck eingegrenzt wird: A (0/0/0), B(1/1/1), C(2/3/3), D
> (2/5/5), E (1/4/4). Die Spitze der Pyramide hat die
> Koordinaten S (0/0/8). Zeigen Sie zunächst, dass es sich
> bei ABCDE um ein Fünfeck handelt.
> Hallo,
> ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe, da wir sie auf
> zwei verschiedene Arten lösen sollen. Ich habe bereits
> gezeigt, dass es sich bei ABCDE um ein Fünfeck handelt,
> allerdings komme ich jetzt nicht weiter.
> Als Hilfen hat unser Lehrer formuliert:
> Weg 1: Über drei Vierflache lösen.
> Weg 2: Über Bestimmen der Grundfläche und des Abstandes von
> S zu ABCDE lösen.
>
> Unter Rechenweg 1 kann ich mir überhaupt nichts vorstellen,
> könnte mir da vielleicht jemand einen Tipp geben?
Du kannst das Volumen der Pyramide als Summe dreier Teilvolumina auffassen. Und zwar der drei dreiseitigen Pyramiden $ABCS$, $ACDS$ und $ADES$. Die Volumina dieser drei dreiseitigen Pyramiden ("Vierflache") kannst Du mit Hilfe des Spatproduktes geeigneter, von $S$ ausgehenden Vektoren berechnen.
>
> Bei Weg Nummer 2 bin ich mir nicht ganz sicher, ob ich
> verstanden habe, was gemeint ist. Normalerweise würde ich
> das Volumen über das Spatprodukt bestimmen, beispielsweise
> mit den Vektoren zwischen A und B, A und C und A und S. Ist
> dies der Rechenweg, den wir bei der zweiten
> Lösungsmöglichkeit anwenden sollen?
Ich glaube bei der Variante 2 ist eine "elementargeometrische" Überlegung gemeint: das gesuchte Volumen ist [mm] $V=\frac{G\cdot h}{3}$ [/mm] (allgemeine Formel für das Volumen einer Pyramide). Hier brauchst Du also nur noch den Inhalt $G$ der Grundfläche und die Höhe der Spitze $S$ über der Grundfläche $ABCDE$ zu berechnen.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:55 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loon |
Hey,
vielen Dank für die schnelle Antwort!
Unter dem zweiten Rechenweg kann ich mir nun etwas vorstellen, dass ich da nicht selber drauf gekommen bin....zu kompliziert gedacht! 
Allerding ist mir der erste immer noch nicht ganz klar.
Wie können Vierflache denn ein Volumen haben? Müssen die nicht "flach" sein, wie es der Name schon besagt?
Lg!
|
|
|
| |
|
> Hey,
>
> vielen Dank für die schnelle Antwort!
>
> Unter dem zweiten Rechenweg kann ich mir nun etwas
> vorstellen, dass ich da nicht selber drauf gekommen
> bin....zu kompliziert gedacht!
>
> Allerding ist mir der erste immer noch nicht ganz klar.
> Wie können Vierflache denn ein Volumen haben? Müssen die
> nicht "flach" sein, wie es der Name schon besagt?
Nee: gemeint ist, dass ein "Vierflach" ein Körper ist, der von vier ebenen Seitenflächen begrenzt wird. Bei der von mir vorgeschlagenen Zerlegung des Gesamtvolumens in drei Teilvolumina $ABCS$, $ACDS$ und $ADES$ handelt es sich um vier dreiseitige Pyramiden. Deren Volumen ist bekanntlich gleich [mm] $\frac{1}{6}$ [/mm] des Volumens des Spates, der von den drei von $S$ ausgehenden Kantenvektoren dieser dreiseitigen Pyramiden gebildet wird.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:10 Di 08.01.2008 | | Autor: | Loon |
Achsooo! Ja, jetzt ist mir klar, wie ich das berechnen muss.
Versteh mal einer das "Mathedeutsch"...
Danke! :)
|
|
|
|
