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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:13 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Welche der folgenden kurzen exakten Sequenzen spaltet?
(i) $1 [mm] \to 2\IZ/10\IZ \xrightarrow{i} \IZ/10\IZ \xrightarrow{\pi} \IZ/2\IZ \to [/mm] 1$
(ii) $1 [mm] \to 2\IZ/12\IZ \xrightarrow{i} \IZ/12\IZ \xrightarrow{\pi} \IZ/2\IZ \to [/mm] 1$
(Die Verknüpfung ist jeweils die Addition, die Abbildungen bilden jeweils Restklassen $x + [mm] n\IZ$ [/mm] auf $x + [mm] n'\IZ$ [/mm] ab.) |
Hallo,
ich wollte nur wissen, ob meine Lösung stimmt und die Begründung richtig ist.
(i) Wir suchen eine Abbildung $s: [mm] \IZ/2\IZ \to \IZ/10\IZ$ [/mm] sodass [mm] $\pi \circ [/mm] s = id$. Es muss natürlich $s(0) = 0$ gelten. In [mm] $\IZ/2\IZ$ [/mm] hat 1 die Ordnung 2, in [mm] $\IZ/10\IZ$ [/mm] ist 5 das einzige Element mit Ordnung 2, damit muss gelten $s(2) = 5 [mm] \Rightarrow (\pi \circ [/mm] s)(0)=0$ und [mm] $(\pi \circ [/mm] s)(1) = [mm] \pi(5) [/mm] = 1$.
Damit spaltet die Sequenz also und es ist [mm] $\IZ/10\IZ \cong 2\IZ/10\IZ \rtimes_{\phi} \IZ/2\IZ$ [/mm] definiert durch den Homomorphismus [mm] $\phi: \IZ/2\IZ \to Aut(2\IZ/10\IZ), [/mm] a [mm] \mapsto \gamma_a$ [/mm] und [mm] $\gamma_a: 2\IZ/10\IZ \to 2\IZ/10\IZ$ [/mm] mit [mm] $i(\gamma_a(x)) [/mm] = s(a)+i(x)-s(a) = i(x)$ und somit [mm] $\gamma_a(x)=x$, [/mm] denn [mm] $i\:$ [/mm] ist ja nur die natürliche Inklusionsabbildung. Damit ist doch dann [mm] $2\IZ/10\IZ \rtimes_{\phi} \IZ/2\IZ \cong 2\IZ/10\IZ \times \IZ/2\IZ$ [/mm] oder?
(ii) Hier ist in [mm] $\IZ/12\IZ$ [/mm] 6 das einzige Element mit Ordnung 2, damit muss für die Splitabbildung gelten: $s(1) = 6$, damit ist dann aber [mm] $(\pi \circ [/mm] s)(1) = [mm] \pi(6) [/mm] = 0$. Damit gilt also: [mm] $\pi \circ [/mm] s [mm] \not= [/mm] id$ und somit spaltet die Sequenz nicht.
Gilt dann notwendig [mm] $\IZ/12\IZ \not\cong 2\IZ/12\IZ \rtimes \IZ/2\IZ$?
[/mm]
Vielen Dank für eure Hilfe!
LG Lippel
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Hallo Lippel,
das ist vollkommen korrekt
Grüße,
Tagesschau.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:07 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, danke für deine Antwort!
Eine Sache blieb noch offen. Wenn die exakte Sequenz $1 [mm] \to [/mm] N [mm] \to [/mm] G [mm] \to [/mm] H [mm] \to [/mm] 1$ nicht spaltet, gilt dann notwendig $g [mm] \not\cong [/mm] N [mm] \rtimes [/mm] H$?
LG Lippel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:21 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Tagesschau |
Hallo Lippel,
ich würde ja sagen.
Viele Grüße,
Tagesschau.
P.S.: Viel Erfolg!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:38 Mo 21.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Vielen Dank 
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:23 Mo 21.03.2011 | | Autor: | PeterB |
Ich würde eher vermuten, dass das schon auftreten kann. Die Gegenbeispiele sollten aber ziemlich pathologisch sein: Für abelsche Gruppen gilt: Falls
[mm] $1\rightarrow [/mm] N [mm] \rightarrow [/mm] G [mm] \rightarrow [/mm] H [mm] \rightarrow [/mm] 1 $
nicht spaltet und alle beteiligten Gruppen endlich sind, dann ist [mm] $G\not\cong N\times [/mm] H$. Aber falls die beteiligten Gruppen nicht endlich sein müssen, dann findet man Gegenbeispiele: [mm] $N=G=\prod_{j\in \mathbb Z} G_i$ [/mm] mit [mm] $G_i=2\mathbb Z/4\mathbb [/mm] Z$ für i<0 und [mm] $G_i=\mathbb [/mm] Z/4$ für [mm] $i\geq [/mm] 0$. Wir schicken N nach G indem wir alles um einen Schritt nach oben verschieben: [mm] $f((x_i)_{i\in Z}=(x_{i-1})_{i\in Z}$. [/mm] Der Quotient dieser Abbildung ist [mm] $H:=2\mathbb Z/4\mathbb [/mm] Z$ und die Sequenz spaltet nicht, aber man kann dennoch einen Isomorphismus [mm] $G\cong N\times [/mm] H$ finden.
Ob es für nicht kommutative Gruppen endliche Gegenbeispiele gibt ist nicht offensichtlich, aber ich würde eher "ja" sagen.
Gruß
Peter
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:22 Di 22.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin,
> Ob es für nicht kommutative Gruppen endliche
> Gegenbeispiele gibt ist nicht offensichtlich, aber ich
> würde eher "ja" sagen.
bei nicht-abelschen Gruppen gibt es auch Gegenbeispiele, siehe ![[]](/images/popup.gif) hier.
Im allgemeinen gilt: ist $0 [mm] \to [/mm] N [mm] \to [/mm] G [mm] \to [/mm] H [mm] \to [/mm] 1$ eine exakte Sequenz beliebiger Gruppen, so spaltet diese genau dann, wenn $G$ semidirektes Produkt von $N$ und $H$ ist (mit gewissen Bedingungen an den Isomorphismius, damit solche pathologischen Faelle nicht auftreten).
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:15 Mi 23.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo, danke für eure Hilfe.
LG Lippel
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