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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:19 Do 03.10.2013 | | Autor: | elacs |
Hallo ich grüble gerade an der folgenden Aufgabe:
[mm] \bruch{1}{2x-x^2} [/mm] + [mm] \bruch{x-4}{2^2+2x}+\bruch{2}{2^2-4}=0
[/mm]
nach Umformen erhalte ich:
[mm] x^2-5x+6=0
[/mm]
Wenn ich jetzt die pq-Formel anwende:
[mm] x_{1/2} [/mm] = [mm] -\bruch{-5}{2}\pm\wurzel{ \left( \bruch{-5}{2} \right) ^2-6}
[/mm]
erhalte ich:
[mm] x_1=2
[/mm]
[mm] x_2=3.
[/mm]
Offensichtlich ist aber nur [mm] x_2 [/mm] richtig, da es bei einer Probe in der Ausgangsgleichung mit [mm] x_1 [/mm] zu einer Division durch Null kommt.
In meiner Aufgabenlösung steht auch nur eine Lösung ( x=3).
Soweit ich weis, gibt für quadratische Gleichung aber zwei Lösungen wenn die Diskriminante positiv ist.
Was ist hier faul?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo elacs und
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> Hallo ich grüble gerade an der folgenden Aufgabe:
>
> [mm]\bruch{1}{2x-x^2}[/mm] + [mm]\bruch{x-4}{2^2+2x}+\bruch{2}{2^2-4}=0[/mm]
>
Die linke Seite ist überhaupt nicht definiert, von daher ist es an dieser Stelle eigentlich schon sinnlos, weiter zu rechnen.
Ich habe jedoch die Vermutung, dasss du die folgende Gleichung meinst:
[mm]\frac{1}{2x-x^2}+\frac{x-4}{x^2+2x}+\frac{2}{x^2-4}=0[/mm]
Bevor man da irgend etwas rechnet, sollte man sich die Definitionsmenge klar machen:
[mm]D=\IR\setminus\left \{ -2;0;2 \right \}[/mm]
> nach Umformen erhalte ich:
>
> [mm]x^2-5x+6=0[/mm]
Und das wäre für die von mir vermutete Gleichung auch richtig.
>
> Wenn ich jetzt die pq-Formel anwende:
>
> [mm]x_{1/2}[/mm] = [mm]-\bruch{-5}{2}\pm\wurzel{ \left( \bruch{-5}{2} \right) ^2-6}[/mm]
>
> erhalte ich:
> [mm]x_1=2[/mm]
> [mm]x_2=3.[/mm]
>
> Offensichtlich ist aber nur [mm]x_2[/mm] richtig, da es bei einer
> Probe in der Ausgangsgleichung mit [mm]x_1[/mm] zu einer Division
> durch Null kommt.
> In meiner Aufgabenlösung steht auch nur eine Lösung (
> x=3).
>
> Soweit ich weis, gibt für quadratische Gleichung aber zwei
> Lösungen wenn die Diskriminante positiv ist.
> Was ist hier faul?
Es ist faul, dass es sich nicht um eine quadratische Gleichung handelt, sondern um eine Bruchgleichung. Um diese Bruchgleichung in eine quadratische Gleichung zu überführen, hast du eine nicht äquivalente Umformung vorgenommen, und zwar in Form der Multiplikation mit [mm] x*(x^2-4). [/mm] Solche Umformungen können die Lösungsmenge einer Gleichung ändern, in diesem Fall eben so, dass unzulässige Lösungen dazu kommen.
Das kan mann im Fall von Bruchgleichungen damit abfangen, dass man zunächst die Definitionsmenge der Gleichung bestimmt, dann wie geschehen die Gleichung durch Umformungen auflöst, um am Ende all jene erhaltenen Lösungen als Lösungsmenge zu betrachten, die auch in der Definitionsmenge enthalten sind. Und das ist hier eben nur x=3.
PS:
Es gibt auch Gleichungen, bei denen auch der Abgleich mit der Definitionsmenge versagt, wie bspw. Wurzelgleichungen. Dann muss man, wie du es ja getan hast, jede erhaltene Lösung durch eine Probe absichern. Bedeutet: deine Vorgehensweise war hier eigentlich schon richtig, wenn sie auch nicht diejenige ist, welche dann in einer Klassenarbeit/Klausur gerne gesehen wird. 
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:58 Do 03.10.2013 | | Autor: | elacs |
Danke, genau diese Gleichung meine ich.
Leider ist mir bei der Eingabe ein Fehler passiert.
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