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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:57 Fr 09.07.2010 | | Autor: | thb |
| Aufgabe | Sei [mm] $p\in\mathbb{N}$ [/mm] und I=(0,1). Für welche Werte von [mm] $\alpha\in\math{R}$ [/mm] gilt [mm] $u\in W^{1,p}(I)$ [/mm] mit [mm] $u(x)=\frac{1}{x^{\alpha}}.
[/mm]
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Hallo zusammen, kann mir bitte jemand bei Aufgabe helfen.
Der Sobolevraum ist ja hier per definitionem
[mm] $W^{1,p}(I)=\{u\inL_{loc}^1(I) : u'$ existiert und $u' \in L^p(I)\}$
[/mm]
Ich habe zunächst argumentiert, dass ja u auf I=(0,1) gewöhnlich differenzierbar ist also auch schwach diff'bar.
Nun ist zu zeigen für welche Werte von [mm] $\alpha$ [/mm] u in [mm] $L^p$ [/mm] liegt.
Bei der folgenden Argumentation bin ich nicht sicher, ob das so hin haut:
Es sollte ja gelten: [mm] $\int_I \|u'\|^p dx<\infty \Leftrightarrow \int_I (-\alpha x^{-\alpha -1})^p [/mm] dx < [mm] \infty$.
[/mm]
Weiter: [mm] $\int_I \frac{(-\alpha)^p}{x^{p(\alpha+1}}<\infty$
[/mm]
Für ungerade p folgt: [mm] $\int_I \frac{(-\alpha)^p}{x^{p(\alpha+1}}<\infty \Leftrightarrow [\frac{-\alpha^p}{(x^{p(\alpha+1)-1}) (-p(\alpha+1)+1}]_0^1 <\infty \Leftrightarrow \frac{\alpha^p}{p(\alpha+1)-1}<\infty$
[/mm]
Ist das bis hier schlüssig. Kann ich jetzt den Bruch abschätzen?
Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:51 Sa 10.07.2010 | | Autor: | felixf |
Hallo!
> Sei [mm]$p\in\mathbb{N}$[/mm] und I=(0,1). Für welche Werte von
> [mm]$\alpha\in\math{R}$[/mm] gilt [mm]$u\in W^{1,p}(I)$[/mm] mit
> [mm]$u(x)=\frac{1}{x^{\alpha}}.[/mm]
>
> Hallo zusammen, kann mir bitte jemand bei Aufgabe helfen.
>
> Der Sobolevraum ist ja hier per definitionem
>
> [mm]W^{1,p}(I)=\{u\inL_{loc}^1(I) : u'[/mm] existiert und [mm]u' \in L^p(I)\}[/mm]
>
> Ich habe zunächst argumentiert, dass ja u auf I=(0,1)
> gewöhnlich differenzierbar ist also auch schwach
> diff'bar.
>
> Nun ist zu zeigen für welche Werte von [mm]\alpha[/mm] u in [mm]L^p[/mm]
> liegt.
> Bei der folgenden Argumentation bin ich nicht sicher, ob
> das so hin haut:
>
> Es sollte ja gelten: [mm]\int_I \|u'\|^p dx<\infty \Leftrightarrow \int_I (-\alpha x^{-\alpha -1})^p dx < \infty[/mm].
Du hast hier den Betrag vergessen.
> Weiter: [mm]\int_I \frac{(-\alpha)^p}{x^{p(\alpha+1}}<\infty[/mm]
Das ist zu zeigen. Das "Weiter:" hoert sich so an als wuerde es bereits als bekannt vorausgesetzt.
> Für ungerade p folgt:
Wieso nur fuer ungerade?
> [mm][mm] \int_I \frac{(-\alpha)^p}{x^{p(\alpha+1}}<\infty \Leftrightarrow [\frac{-\alpha^p}{(x^{p(\alpha+1)-1}) (-p(\alpha+1)+1}]_0^1 <\infty[/mm\]
[/mm]
Soweit ok.
> [mm]\Leftrightarrow \frac{\alpha^p}{p(\alpha+1)-1}<\infty[/mm]
Was ist mit der linken Grenze, also $x [mm] \to [/mm] 0$, passiert? Das kannst du nicht einfach weglassen!
> Ist das bis hier schlüssig. Kann ich jetzt den Bruch
> abschätzen?
Der Bruch ist entweder eine endliche Zahl, oder es wird durch 0 geteilt. Wann passiert das? Denk mal genau nach.
Die spannendere Grenze ist $x [mm] \to [/mm] 0$, und nicht $x = 1$.
LG Felix
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:51 Sa 10.07.2010 | | Autor: | thb |
Hi felixf - ein Blick auf Deinen Wohnort erklärt die Uhrzeit Deiner Antwort  Vielen Dank für die Reaktion!
Also ich habe den Betrag vergessen.
Ich fange nochmal an:
[mm] $\left(\int_I \|u'(x)\|^p dx\right)^{1/p} [/mm] < [mm] \infty \Leftrightarrow \int_I \|u'(x)\|^pdx [/mm] < [mm] \infty \Leftrightarrow \int_I\frac{-\alpha^p}{x^{p(\alpha+1)}}dx \leq \int_I\frac{|-\alpha|^p}{|x^{\alpha+1}|^p}dx [/mm] = [mm] \int_I \left|\frac{-\alpha}{x^{\alpha+1}}\right|^pdx [/mm] < [mm] \infty
[/mm]
[mm] \Rightarrow \int_I \frac{-\alpha^p}{x^{p(\alpha+1)}} [/mm] < [mm] \infty \Leftrightarrow \left[ \frac{\alpha^p}{(p(\alpha+1)-1) \cdot x^{p(\alpha+1)-1}}\right]_{0+\epsilon}^1$
[/mm]
Wie Du schon gesagt hast: Die Nenner der Auswertung sollten nicht Null sein, damit man für das Inetral einen endlichen Wert erhält.
Aus der oberen Grenze folgt die Forderung:
[mm] $p(\alpha+1) \neq [/mm] 1 [mm] \Leftrightarrow \alpha \neq \frac{1}{p}-1.
[/mm]
Sei also [mm] $\alpha \neq \frac{1}{p}-1$.
[/mm]
Dann zur unteren Grenze hier ist der Grenzübergang [mm] $\epsilon \rightarrow [/mm] 0$ zu betrachten. Da der erste Faktor im Nenner wegen der ersten Forderung nicht Null wird genügt es den Limes der folgender Potenz zu betrachten:
[mm] \[lim_{\epsilon\rightarrow 0}\epsilon^{p(\alpha+1)-1}\]
[/mm]
So jetzt muss ich überlegen:
Damit mir der Funktionswert nahe bei Null nicht abhaut, sollte die Potenz doch einen Exponenten größer oder gleich 0 haben. Stimmt das?
Dann müsste man als zweite Forderung fordern:
[mm] $p(\alpha+1)-1 \geq [/mm] 0 [mm] \Leftrightarrow \alpha \geq \frac{1}{p} [/mm] -1$
Also folgt mit der ersten Forderung, dass gelten muss:
[mm] $\alpha [/mm] > [mm] \frac{1}{p}-1$
[/mm]
Wären das dann die gesuchten Alphas?
Viele Grüße aus dem mit bis zu knapp 40°C extrem heißen Deutschland.
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