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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:50 Fr 04.03.2011 | | Autor: | physicus |
Hallo zusammen
Ich habe eine Frage zur folgender Inklusion:
Sei $\ U [mm] \subset\subset \IR^n [/mm] $ offen. Dann soll folgendes gelten:
[mm] W^{1,q}(U) \subset W^{1,p}(U),1 \le p \le q \le \infty [/mm]
Ich habe den Tipp, dass man das mittels Hölder zeigen soll.
Sei $\ u [mm] \in W^{1,q} [/mm] $ dann ist zu zeigen. : $\ u [mm] \in L^p(U),\bruch{\partial u}{\partial x_i} \in L^p(U)$. [/mm] Wenn ich das erste zeigen kann, dann geht das andere für die schwache Ableitung ja gleich. Aber wie zeig ich das erste mittels Hölder? Zu zeigen ist ja, dass das Integral von $\ u $ endlich ist.
Ich danke euch für die Erklärung!
Gruss
physicus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:02 Sa 05.03.2011 | | Autor: | emil11 |
Hallo physicus,
Was du beweisen willst und kannst ist, dass [mm] $L^p$-Räume [/mm] von endlichen Maßräumen (beispielsweise relativ kompakte Teilmengen des [mm] $^\IR^n$) [/mm] diese Inklusion erfüllen. Dazu musst du tatsächlich lediglich mit der Hölder-Ungleichung "herumspielen", es gilt also, die richtigen p, q zu finden (p+q=pq), dann wirst du die p-Norm von $u$ bzw. $Du$ gegen die q-Norm mal eine Potenz von [mm] $\lambda(U)$ [/mm] abschätzen können.
Mfg emil
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