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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:13 Do 12.07.2012 | | Autor: | adefg |
| Aufgabe | Wir betrachten auf einem Gebiet [mm] \Omega\subset\mathbb R^n [/mm] die Gleichung [mm] -\Delta [/mm] u + [mm] \partial_{x_1} [/mm] u = f mit [mm] f\in L^2(\Omega). [/mm] Sei [mm] u\in W^{1,2}(\Omega) [/mm] eine schwache Lösung.
Zeigen Sie: [mm] u\in W^{2,2}_{\mathrm{loc}}(\Omega) [/mm] und es gibt für alle [mm] U\Subset\Omega [/mm] eine Konstante C so, dass für alle schwachen Lösungen u gilt [mm] ||u||_{W^{2,2}(U)}\leq C(||f||_{L^2(\Omega)} [/mm] + [mm] ||u||_{L^2(\Omega)}) [/mm] |
Hallo, ich schaue mir gerade alte Übungsaufgaben für eine Klausur an und stehe da bei obiger Aufgabe vor einem Problem bei den Abschätzungen.
Betrachtet man [mm] \tilde [/mm] f := [mm] f-\partial_{x_1} [/mm] u und wendet einen Satz an, den wir in der Vorlesung hatten kommt man auf die Abschätzung [mm] ||u||_{W^{2,2}(U)}\leq C(||\tilde f||_{L^2(\Omega)} [/mm] + [mm] ||u||_{L^2(\Omega)})\leq C||f||_{L^2} [/mm] + [mm] C||\nabla u||_{L^2} [/mm] + [mm] C||u||_{L^2}
[/mm]
Nun gilt es zu zeigen, dass die [mm] L^2-Norm [/mm] von [mm] \nabla [/mm] u sich abschätzen lässt durch die [mm] L^2-Norm [/mm] von u.
Dazu betrachtet die Musterlösung eine Testfunktion [mm] \eta [/mm] mit der Eigenschaft, dass sie 1 ist über U und 0 über [mm] \Omega\backslash\overline{\Omega'} [/mm] wobei [mm] U\Subset\Omega'\Subset\Omega [/mm] gelten soll.
Durch partielle Integration erhält man dann, dass die rechte Seite größer als die [mm] L^2-Norm [/mm] von [mm] \nabla [/mm] u quadriert ist und dann folgert man [mm] ||\nabla u||_{L^2}^2\leq\int -\Delta u\cdot u\cdot \eta [/mm] = [mm] \int [/mm] f u [mm] \eta [/mm] - [mm] \int u\cdot\frac{\partial u}{\partial x_1}\eta \leq ||f||_{L^2} \cdot ||u||_{L^2} [/mm] + [mm] ||u||_{L^2}\cdot ||\nabla u||_{L^2}
[/mm]
Daraus erhält man
[mm] ||\nabla u||_{L^2}^2 \leq ||f||_{L^2}\cdot ||u||_{L^2} [/mm] + [mm] ||u||_{L^2}\cdot ||\nabla u||_{L^2} [/mm] und mit [mm] A:=||\nabla u||_{L^2} [/mm] und [mm] B:=||u||_{L^2} [/mm] die Ungleichung
[mm] A^2 \leq (||f||_{L^2}+A)B [/mm] und mit quadratischer Ergänzung
[mm] A^2 [/mm] - AB + [mm] B^2/4 \leq ||f||_{L^2} [/mm] B + [mm] B^2/4
[/mm]
Soweit ist mir das alles klar. Aber jetzt folgt die Abschätzung
[mm] (A-B)^2 \leq ||f||_{L^2}B [/mm] + [mm] B^2/4 \leq C_1 ||f||_{L^2}^2 [/mm] + [mm] C_2B^2
[/mm]
Wie komme ich hier auf die letzte Ungleichung? Ich sehe irgendwie nicht, wieso man die [mm] L^2-Norm [/mm] von f quadriert betrachten kann? Kann mir das jemand näher erklären?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:20 Sa 14.07.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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