Skolem-Noether < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Es sei $k$ ein Körper, $A$ sei eine einfache Algebra und $B$ sei eine zentraleinfache Algebra. $A$ und $B$ seien endlich über $k$. Dann sagt der Satz von Skolem und Noether, dass je zwei Homomorphismen [mm] $A\longrightarrow [/mm] B$ konjugiert sind.
[Beweis: Es sei [mm] $\underline{B}$ [/mm] der unterliegende $k$-Modul von $B$. Durch [mm] $A\otimes_kB^{\operatorname{op}}\longrightarrow\operatorname{End}(\underline{B})$, $(a\otimes b)\longmapsto L_{f(a)}\circ R_b$ [/mm] (Links- und Rechtsmultiplikation) wird [mm] $\underline{B}$ [/mm] zu einem [mm] $A\otimes_kB^\operatorname{op}$-Modul $B_f$. [/mm] Da [mm] $A\otimes B^\operatorname{op}$ [/mm] eine endliche einfache $k$-Algebra ist, sind deren Moduln bis auf Isomorphie durch die $k$-Dimension bestimmt. Insbesondere ist die Isomorphieklasse von [mm] $B_f$ [/mm] unabhängig von $f$. Isomorphismen [mm] $B_f\cong B_g$ [/mm] entsprechen aber genau den Einheiten in $B$, durch welche $f$ und $g$ konjugiert sind.]
Frage: Es wird bei mir behauptet, dass der Satz auch dann gilt, wenn man lediglich $A$ als endlich über $k$ voraussetzt. Ich kann das nicht verifizieren. Stimmt das überhaupt?
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
| |
|
Ich bin noch interessiert.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:12 Do 10.03.2016 | | Autor: | hippias |
Ich möchte sagen, dass Endlichkeit nicht ausreichend ist. Nimm etwa $A:= [mm] k\times [/mm] k$ und $B:= k$. Betrachte die Homomorphismen [mm] $(x,y)\mapsto [/mm] x$ und [mm] $(x,y)\mapsto [/mm] y$.
|
|
|
| |
|
Hallo hippias,
vielen Dank! Verstehe ich das so, dass du sogar ein Gegenbeispiel zu der Version, die ich für richtig halte, liefern möchtest? Jedenfalls ist $A$ in deinem Beispiel doch nicht einfach, oder? ($k$ ist ein nichttrivialer Quotient von [mm] $k\times [/mm] k$.)
Edit: Es könnte sein, dass ich mich im Startbeitrag missverständlich ausgedrückt habe. Ich möchte alle Voraussetzungen beibehalten, mit Ausnahme der Endlichkeit von $B$.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 09:09 Do 10.03.2016 | | Autor: | hippias |
Dann ist hast Du Dich allerdings missverständlich ausgedrückt, denn Du hast in Deiner Frage $A$ geschrieben, aber nicht $B$.
Richtig, mein $A$ ist zwar endlich, aber nicht einfach, weil ich Dich so verstanden habe, dass Du nur Endlichkeit von $A$ voraussetzen möchtest, sonst aber alles bleibt.
|
|
|
| |
|
Also zur Klarstellung: Was mich interessiert, ist die Richtigkeit der folgenden Aussage:
Seien $k$ ein Körper, $A$ einfach und endlich über $k$, $B$ zentraleinfach (aber nicht unbedingt endlich) über $k$. Dann sind je zwei Homomorphismen [mm] $A\longrightarrow [/mm] B$ konjugiert.
Die Beweisskizze kann ich ja auch noch anfügen: Es wird auch [mm] $A\otimes B^\operatorname{op}$ [/mm] betrachtet, diese Algebra ist immer noch einfach, über $k$. Nach dem Satz von Wedderburn ist [mm] $A\otimes B^\operatorname{op}$ [/mm] der Matrizenring einer Divisionsalgebra $D$ über $k$. Es wird behauptet, [mm] $B_f$ [/mm] und [mm] $B_g$ [/mm] seien von derselben endlichen Dimension über $D$ (dies kann ich nicht einsehen) und deshalb seien sie isomorph.
Falls dir oder jemand anderem dieser Beweis einleuchtet, würde ich mich über Erleuterung freuen.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:11 Do 10.03.2016 | | Autor: | hippias |
Eine schnelle Idee: Da $A$ einfach ist, sind die Homomorphismen stets injektiv und als $k$-Raeume isomorph.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:00 Do 10.03.2016 | | Autor: | hippias |
Du kannst einen Hinweis finden auf Seite 231, Uebung 1 in Pierce: Associative Algebras, Springer Verlag
|
|
|
| |
|
Hallo hippias!
Vielen Dank! Die Aussage gilt also. Ich bin mit dem Dichtheitssatz von Jacobson und verwandten Techniken noch nicht vertraut, deshalb ist mir der Zugang nicht ganz klar. Ich werde mir das mir das entweder später aneignen oder jetzt mit gutem Gewissen weiterlesen, denn eigentlich interessiere ich mich nur für Brauergruppen, bei denen eh immer alles endlichdimensional ist. Die Frage ist für mich (vorerst) erledigt. Das Buch sieht übrigens ganz lesenswert in Bezug auf nichtkommutative Algebra aus, ich kannte es noch nicht.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
|
|
|
|
