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Hi,
ich habe eine Frage bzgl. des Skizzierens einer Funktion.
Ich gehe meist folgendermaßen vor:
1. max. Definitionsmenge; Eventuelle Def.lücken
2. Fkt. welchen Grades
3. Nullstellen
Jetzt hab ich meist eine ungefähre Ahnung, wie meine Fkt. ausschaut.
Jedoch habe ich Probleme beim erkennen von Asymptoten. Ich hab das nicht mehr genau im Kopf, gibt es da einfache und doppelte Asymptoten?
Und heute im Unterricht fiel noch der Begriff positives und negatives Lot. Bin ich mir aber nicht genau sicher.
Und der Begriff Polstelle wurde auch noch erwähnt.
Da ich letztes Jahr leider einen Lehrer hatte, der den Stoff nicht ganz "durchgebracht" hat, kann ich mit den Begriffen nichts anfangen und ich weiß v.a. nicht wie ich sie erkennen kann.
noch mal zusammenfassend:
- Asymptoten (einfach, doppelt?!)
- neg./pos. Lot?!
- Polstellen
ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand kurz diese Eigenschaften erklären könnte, vll auch anhand der Funktion:
[mm]f(x)=\bruch{2x-x^2}{(x-1)^2}[/mm]
leider haben auch Internetrecherchen zu diesen Sachen keine Lößung gebracht.
mfg, Michael
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Hallo,
aufgrund deiner Fragen gehe ich einmal davon aus,
dass es dir um rationale Funktionen geht, also:
1.) ganzrationale Funktionen = Polynomfunktionen
2.) gebrochen rationale Fkt. = [mm] \bruch{Polynomfkt.}{Polynomfkt.}
[/mm]
Bei anderen Funktionen (trigonometrische, Exponential-
und Logarithmusfkt. und weitere) braucht man zum Teil
andere Methoden.
> Hi,
> ich habe eine Frage bzgl. des Skizzierens einer Funktion.
> Ich gehe meist folgendermaßen vor:
> 1. max. Definitionsmenge; Eventuelle Def.lücken
> 2. Fkt. welchen Grades
das ist bei Polynomen wichtig, bei gebrochenrat. Fkt.
sollte man auf den Zählergrad und den Nennergrad achten
> 3. Nullstellen
>
> Jetzt hab ich meist eine ungefähre Ahnung, wie meine Fkt.
> ausschaut.
> Jedoch habe ich Probleme beim erkennen von Asymptoten. Ich
> hab das nicht mehr genau im Kopf, gibt es da einfache und
> doppelte Asymptoten?
Geradlinige (waagrechte oder schräge) Asymptoten können
bei gebrochen rationalen Fkt. auftreten, und zwar:
waagrechte, falls Zählergrad=Nennergrad; schräge As.,
falls Zählergrad=Nennergrad+1. Um die Gleichung der
Asymptote zu bestimmen, benützt man am besten die
 Polynomdivision.
> Und heute im Unterricht fiel noch der Begriff positives
> und negatives Lot. Bin ich mir aber nicht genau sicher.
Was damit genau gemeint ist, weiss ich nicht.
> Und der Begriff Polstelle wurde auch noch erwähnt.
Eine vertikale Asymptote (parallel zur y-Achse) heisst
auch Polgerade. Bei gebrochen-rationalen Fkt. können
solche Asymptoten an solchen Stellen auftreten, wo der
Nenner gleich Null wird. Man muss dann aber überprüfen,
wie sich der Zähler an dieser Stelle verhält. Je nachdem
hat man dann einen Pol mit oder ohne Vorzeichenwechsel
oder eine "hebbare Unstetigkeit". Falls ein Pol vorliegt,
ist der entsprechende x-Wert eine Polstelle.
> noch mal zusammenfassend:
> - Asymptoten (einfach, doppelt?!)
Bei gebrochen-rationalen Funktionen sind waagrechte
oder schräge Asymptoten immer "doppelt": sie gelten
für [mm] x\to\infty [/mm] und für [mm] x\to -\infty [/mm] .
> - neg./pos. Lot?!
> - Polstellen
>
> ich wäre sehr dankbar, wenn mir jemand kurz diese
> Eigenschaften erklären könnte, vll auch anhand der
> Funktion:
>
> [mm]f(x)=\bruch{2x-x^2}{(x-1)^2}[/mm]
Bei diesem Beispiel kann man erkennen, dass es
die (beidseitige) waagrechte Asymptote y=-1 gibt
sowie die Polgerade x=1. An dieser Stelle liegt ein
Pol ohne Vorzeichenwechsel.
Tipp: bestimme die Grenzwerte [mm] \limes_{x\to\infty}f(x) [/mm] sowie [mm] \limes_{x\to -\infty}f(x),
[/mm]
[mm] \limes_{x\downarrow 1}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\uparrow 1}f(x) [/mm] .
(x=1 ist die Nullstelle des Nenners).
LG
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danke für deine Erklärungen!
Das mit den waagerechtenund schrägen Asymptoten, die man dadurch erkennt, wie der jeweilige Zähler bzw. Nennergrad ist habe ich verstanden.
Und dass man auf die Gleichung dieser, in meinem Beispiel, waagerechten Asymptote durch die Polynomdivision kommt hast du ja auch erwähnt. Polynomdivision an sich ist kein Problem, nur wie komme ich in meinem Beispiel auf die "Asymptotengleichung" y=-1?
Die senkrechte Asymptote, also prallel zur Y-Achse ist auch klar, da die Nullstelle des Nenners = 1 ist!
Zeichne ich meine Fkt. hat also die Fkt. folgende Eigenschaften:
- Asymptote parallel zur y-Achse durch x=1
- Asymptote bzw. Polgerade(waagerecht) durch y=-1
stimmt das so?
mfg, Michael
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Hallo Michael,
> Polynomdivision an sich ist kein
> Problem, nur wie komme ich in meinem Beispiel auf die
> "Asymptotengleichung" y=-1?
$\ [mm] f(x)=(-x^2+2x)/(x^2-2x+1)=\underbrace{-1}_{as. Term}+\ \bruch{1}{x^2-2x+1}$
[/mm]
> Die senkrechte Asymptote, also parallel zur Y-Achse ist auch
> klar, da die Nullstelle des Nenners = 1 ist!
>
> Zeichne ich meine Fkt. hat also die Fkt. folgende
> Eigenschaften:
> - Asymptote parallel zur y-Achse durch x=1 ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
dies ist die Polgerade !
dabei ist noch nützlich, sich klarzumachen, wie
sich f in der Umgebung der Polstelle x=1 verhält
Bestimme deshalb noch die einseitigen Limites
[mm] $\limes_{x\downarrow 1}F(x)$ [/mm] und [mm] $\limes_{x\uparrow 1}F(x)$
[/mm]
> - Asymptote bzw. Polgerade(waagerecht) durch y=-1
Nebenbemerkung: diese Funktion weist eine Symmetrie
auf, die man auch noch erwähnen könnte, mit der
Hoffnung auf einen Extrapunkt ...
Gruß Al-Chw.
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![[guckstduhier]](/images/smileys/guckstduhier.gif "[guckstduhier]"){kind=small}
