Skizze der Menge aller Punkte < Komplexe Zahlen < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:13 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
| Aufgabe | | Man skizziere die Menge aller Punkte z der Gaußschen Zahlenebene, für die gilt: |
Hallo, ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter und hoffe, ihr könnt mir helfen:
(a) Im(z) ≤ 2,
(b) |z + (3 − 4i)| ≤ 2,
Die (b) verstehe ich, man muss hier nur Umformen, da die benötigte Form lautet: (z [mm] -z_{0}) \le [/mm] r)
c) Re(z²) = 4
Danke schon mal.
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Hallo,
> Man skizziere die Menge aller Punkte z der Gaußschen
> Zahlenebene, für die gilt:
> Hallo, ich komme bei der Aufgabe einfach nicht weiter und
> hoffe, ihr könnt mir helfen:
>
> (a) ln(z) ≤ 2,
das ergibt keinen Sinn. Dam müssen dir irgendwo Betragszeichen verloren gegangen sein, könntest du das nochmal überprüfen?
>
> (b) |z + (3 − 4i)| ≤ 2,
>
> Die (b) verstehe ich, man muss hier nur Umformen, da die
> benötigte Form lautet: (z [mm]-z_{0}) \le[/mm] r)
Auch das gehst du offensichtlich völlig falsch an. In [mm] \IC [/mm] gibt es keine Ordnungsrelation, also macht deine obige 'benötigte Form' keinerlei Sinn!
>
> c) Re(z²) = 4
Hm, das ist alles in allem ein wenig dürftig, was du hier an eigenen Überlegungen präsentierst. Man muss es mal wieder explizit sagen: der Sinn und Zweck unseres Forums besteht nicht im Vorrechnen von Aufgaben.
Bei a) kläre erst einmal die Aufgabenstellung. Bei der b) setze z=x+iy, wende links die Definition des Betrags einer komplexen zahl an, quadriere das ganze und löse nach y auf. Auch bei c) setzt man z=x+iy, setzt ein und überlegt sich, woraus nun der Realteil besteht.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:16 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Hallo,
Mein Ziel war es auch nicht, die Aufgaben gelöst zu bekommen.
Mir hat nur selbst jeglicher Ansatz gefehlt, weil wir auch sonst keine vergleichbaren Aufgaben hatten.
Oh, tut mir leid, bei der a) steht natürlich Im (z) <= 2
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:27 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Meine Überlegungen zu b) :
Definition des Betrages: |z| = [mm] \wurzel{x²+y²}
[/mm]
Die Aufgabe war ja: |z + (3-4i)| < = 2
Dein Ansatzvorschlag war: Ich solle z = x + yi setzen und den Betragssatz anwenden.
D.h.: |x + yi + (3-4i)| < = 2
Nun häte ich doch 2 Real- und Imaginärteile, die ich in die Betrasgleichung einsetzen kann, oder verstehe ich das falsch?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:38 Di 29.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Meine Überlegungen zu b) :
> Definition des Betrages: |z| = [mm]\wurzel{x²+y²}[/mm]
>
> Die Aufgabe war ja: |z + (3-4i)| < = 2
>
> Dein Ansatzvorschlag war: Ich solle z = x + yi setzen und
> den Betragssatz anwenden.
>
> D.h.: |x + yi + (3-4i)| < = 2
immer brav alles ohne i als Re und alles mit i als Im sehen also
Re = x+y+3 IM=y-4i
jetzt den Betrag davon
>
> Nun häte ich doch 2 Real- und Imaginärteile, die ich in
> die Betrasgleichung einsetzen kann, oder verstehe ich das
> falsch?
ja, du hast immer nur einen Im, und Re, das muss aber keine einzelne Zahl sien, sondern i.A. ein Ausdruck sobald du für x und y Zahlen einsetzt siehst du das ja auch.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:46 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Man nimmt den Betrag separat von jeweils Imaginär und Ralteil?
ich dachte, den Betrag nimmt man von der gesamten Gleichung der Form
z = [mm] \wurzel{x²+y²} [/mm]
Wie darf ich mir das denn erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:50 Di 29.04.2014 | | Autor: | fred97 |
|z + (3 − 4i)| ≤ 2 [mm] \gdw [/mm] |z - (-3 +4i)| ≤ 2
Dadurch werden alls Punkte z beschrieben die vom festen Punkt -4+4i den Abstand [mm] \le [/mm] 2 haben
Hilft das ?
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 15:51 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Ja, das hilft.
Auf diese Lösung bin ich auch gekommen.
Allerdings hilft mir das leider nicht bei der Lösung der anderen Aufgabenteile, da mir der Ansatz bei diesen nicht hilft.
Aber danke. =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:32 Di 29.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
zu 1 schreib z=x+iy dann siehst du das Gebiet sofort.
zu 2, das hast du schon als Kreisscheibe richtig erkannt.
zu 3, wieder z=x+iym daraus [mm] z^2 [/mm] und dann [mm] Re(z^2)=4 [/mm] ansehen und daraus [mm] re(z^2)<4 [/mm] entnehmen
fertig.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:37 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Also muss ich im prinzip für die Z in solchen Aufgaben lediglich Z = x + iy einsetzen und entsprechend auflösen, sodass x+iy <= r da steht?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:52 Di 29.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie du das schreibst ist unsinnig! x+iy<r ist NIE sinnvoll! aber du hast ja immer ungleichungen wo ein reeller Ausdruck der aus x,y und Zahlen besteht <r sein soll.
also einfach loslegen, wir können korrigieren.
Gruß leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:15 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Ich gehe die Aufgaben jetzt mal anders an:
Um die Punkte einzuzeichnen.
bei Teil a) Im z < = 2
Man stelle sich das Koordinatensystem vor. x-Achse entspricht dem Realteil, y-Achse dem Imaginärteil.
Man Markiere den Gesamten Bereich mit y <= 2
zu Aufgabe b) |z + (3 − 4i)| ≤ 2
Man möchte Real- und Imaginärteil ablesen.
Der Betrag der Komplexen Zahl bestimmt den Abstand zum Nullpunkt.
Dieser soll hier <= 2 sein.
Da hier quasi der Betrag zweier komplexer Zahlen berechnet wirt (zum einen z und zum anderen (3-4i), muss man hier umformen zu:
|z - (-3 +4i)| < = 2
Und somit ist der gesuchte Punkt P(-3 | 4)
Zu Aufgabenteil c) Re(z²) = 4
Man suche alle zahlen, fü die Re(z²) = 4 wird.
Dies wären 2, -2;
Denn, wenn man für z = x + yi einsetzt,
dies quadriert, steht da z² = x² - y²
wenn nun für z² der Realteil 4 sein soll, muss der Realteil für z= 2, -2 sein.
(Hier verstehe ich nur nicht, was genau ich einzeichnen soll, da mir der Imaginärteil noch fehlt?)
Stimmt das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:30 Di 29.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Ich gehe die Aufgaben jetzt mal anders an:
> Um die Punkte einzuzeichnen.
>
> bei Teil a) Im z < = 2
>
> Man stelle sich das Koordinatensystem vor. x-Achse
> entspricht dem Realteil, y-Achse dem Imaginärteil.
> Man Markiere den Gesamten Bereich mit y <= 2
richtig mit z=x+iy I(z)=y also y<=2
> zu Aufgabe b) |z + (3 − 4i)| ≤ 2
>
> Man möchte Real- und Imaginärteil ablesen.
> Der Betrag der Komplexen Zahl bestimmt den Abstand zum
> Nullpunkt.
> Dieser soll hier <= 2 sein.
> Da hier quasi der Betrag zweier komplexer Zahlen berechnet
> wirt (zum einen z und zum anderen (3-4i), muss man hier
> umformen zu:
> |z - (-3 +4i)| < = 2
was hast du umgeformt?
>
> Und somit ist der gesuchte Punkt P(-3 | 4)
welcher gesuchte Punkt? für z=-3+4i ist |z - (-3 +4i)| =0 also liegt der Punkt in dem Gebiet
z-z–1| ggibt den Abstand von z zu [mm] z_1 [/mm] an, dieser Abstand soll <=2 sein, das ist ein Gebiet, das du angeben sollst.
>
> Zu Aufgabenteil c) Re(z²) = 4
>
> Man suche alle zahlen, fü die Re(z²) = 4 wird.
> Dies wären 2, -2;
> Denn, wenn man für z = x + yi einsetzt,
> dies quadriert, steht da z² = x² - y²
das ist sehr falsch! binomischer Satz [mm] (x+iy)^2\ne x^2+y^2
[/mm]
> wenn nun für z² der Realteil 4 sein soll, muss der
> Realteil für z= 2, -2 sein.
>
> (Hier verstehe ich nur nicht, was genau ich einzeichnen
> soll, da mir der Imaginärteil noch fehlt?)
da es falsch ist hilft einzeichnen nichts.
bilde richtig (x+iy)*(x+iy), dann such den Realteil raus.
Gruss leduart
> Stimmt das?
>
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:33 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Okay, danke.
Bei b) meine ich mit dem gesuchten Punkt, den Punkt ?(-3I4), um den man das Gebiet einzeichnet.
Zu c)... Ops, den Fehler mache ich irgendwie immer wieder.
Ich werde es gleich noch mal nachrechnen.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:45 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
x²+2xy-y²=z²
Nun weiß ich absolut nicht, was ich damit anfangen soll.
Wie soll ich denn daraus den Realteil ablesen, nur wenn ich weiß, dass
Re(z²) = 4 ist?
Müsste dieser dann nicht eigentlich durch Umformungen
[mm] \bruch{\wurzel{x²}}{y} [/mm] + 2x = [mm] \bruch{z²}{y} [/mm] - y erreichbar sein?
Aber wie es aussieht, ergibgt das irgendwie keinen Sinn. =/
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> x²+2xy-y²=z²
Hallo,
nein.
Du hattest z=x+iy,
also ist [mm] z^2=(x+iy)^2=x^2+2ixy+(iy)^2= [/mm] ...
Jetzt sortiere nach Vielfachen von i und Zahlen ohne i.
Der Ausdruck ohne i ist der Realteil, der Faktor vor dem i ist der Imaginärteil.
LG Angela
>
> Nun weiß ich absolut nicht, was ich damit anfangen soll.
>
> Wie soll ich denn daraus den Realteil ablesen, nur wenn ich
> weiß, dass
> Re(z²) = 4 ist?
> Müsste dieser dann nicht eigentlich durch Umformungen
> [mm]\bruch{\wurzel{x²}}{y}[/mm] + 2x = [mm]\bruch{z²}{y}[/mm] - y
> erreichbar sein?
>
> Aber wie es aussieht, ergibgt das irgendwie keinen Sinn. =/
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:49 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Das hieße dann doch, dass z² = x² - y + 2xyi ist.
Der Realteil wäre demnach x²-y und das müsse dann 4 entsprechen.
Bzw. [mm] \wurzel{x²-y} [/mm] wäre dann der Realteil, oder?
Und 2xy wäre der Imaginärteil, oder?
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> Das hieße dann doch, dass z² = x² - y + 2xyi ist.
Hallo,
nein, es ist [mm] z^2=x^2-y^2+2xyi.
[/mm]
> Der Realteil wäre demnach x²-y
[mm] Re(z^2)=x^2-y^2
[/mm]
> und das müsse dann 4
> entsprechen.
Genau.
Es müssen x und y so sein, daß [mm] x^2-y^2=4.
[/mm]
Und nun mußt Du herausfinden, wo (im Koordinatensystem) die Punkte (x|y) liegen, für die das gilt.
> Bzw. [mm]\wurzel{x²-y}[/mm] wäre dann der Realteil, oder?
> Und 2xy wäre der Imaginärteil, oder?
Nein. [mm] Re(z^2)=x^2-y^2,
[/mm]
[mm] Im(z^2)=2xy.
[/mm]
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:11 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Natürlich.. kleiner Tippfehler.
Aber wenn der Imaginärteil Im(z²) = 2xy entsprechen soll, kann ich diesen in Zahlen doch gar nicht festlegen?
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> Aber wenn der Imaginärteil Im(z²) = 2xy entsprechen
> soll, kann ich diesen in Zahlen doch gar nicht festlegen?
Sollst Du ja auch nicht!
Soweit ich es mitbekommen habe, lautet Aufgabe c), daß Du skizzieren sollst, wo die Punkte mit [mm] Re(z^2)=4, [/mm] also die Punkte (x|y) mit [mm] x^2-y^2=4 [/mm] liegen.
LG Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:17 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Und diese liegen lediglich auf der x-Achse, da Re(z) auf der x-Achse liegt.
Allerdings habe ich noch eine Frage: Wenn 4 = x²-y² ist, dann können die Variablen x und y doch jeden beliebigen Wert annehmen?
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Hallo,
> Und diese liegen lediglich auf der x-Achse, da Re(z) auf
> der x-Achse liegt.
???
> Allerdings habe ich noch eine Frage: Wenn 4 = x²-y² ist,
> also 2 = x-y,
Wie um alles in der Welt kommst du auf diese Gleichheit? Du hast doch hier nicht allen Ernstes auf der rechten Seite die Wurzel einer Differenz gezogen, indem du für Minor und Minuend getrannt radiziert hast???
> dann können die Variablen x und y doch jeden
> beliebigen Wert annehmen?
Deine Gleichung heißt
[mm] x^2-y^2=4
[/mm]
Wie man unschwer erkennt, handelt es sich um eine Hyperbel, deren genaue Lage du jetzt mal noch irgendwie erruierst, dann kannst du das auch leich skizzieren.
Erlaube mir die Bemerkung, dass du in deinem eigenen Interesse ganz schnell wichtige Grundlagen der Schulmathematik repetitieren solltest: denn mit solchen Schnitzern wie oben wird man sich im Studium schnell eine ziemlich blutige Nase holen, abgesehen davon, dass man sich mit einfachsten Aufgaben dann stundenlang plagen muss, so wie hier geschehen. Das sollte (und das schafft jeder!) eine Sache von 10-15 Minuten sein (inkl. sauber aufschreiben und den Skizzen), diesen Ansdpruch sollte man an sich stellen, wenn man studiert!
Auch für den unwahrscheinlichen Fall, das dieser Stoff doch erfreulicherweise mal in der Schule behandelt wird: am Nachholen von Stoff führt kein Weg vorbei.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:57 Di 29.04.2014 | | Autor: | LPark |
Ja, okay.
Da habe ich einen Fehler gemacht. Habe ich eben nach erneutem Betrachten selbst bemerkt.
Und tut mir leid. Ich finde diese Aufgabe eben nicht einfach, wenn nichts Vergleichbares behandelt, geschweige denn erwähnt wurde.
In den Skripten steht bedauerlicherweise auch nichts darüber.
Ich werde es mir aber dennoch erneut ansehen.
Gruß
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