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| Aufgabe | Für [mm] v=\vektor{ x_{1} \\x_{2}}w=\vektor{ y_{1} \\ y_{2} } \in\IR^{2} [/mm] seien die Skalarpodukte
(S1) <v,w> = [mm] 2*x_{1}*y{1} [/mm] + [mm] 3*x_{2}*y{2}
[/mm]
(S2) <v,w> [mm] =4*x_{2}*y{2} [/mm] + [mm] 7*x_{2}*y{2} [/mm] - [mm] 2*x_{2}*y{1} [/mm] - [mm] 2*x_{1}*y{2}
[/mm]
vorgelegt.
a) für v = [mm] \vektor{2\\-1}, [/mm] w = [mm] \vektor{3\\4} [/mm] berechne man
<v,w>, ||v||, d<v,w>
unter Verwendung der beiden Skalarprodukte
b) Man bestimme in beiden Fällen einen Vektor u [mm] \in\IR,u\not=0, [/mm] so daß u ortogonal zu v ist. |
für S1 <v,w> = 0, <v,v> = 11, <w,w,> = 66
Jetzt haben wir ein Satz aufgeschrieben der folgendes besagt:
||v|| = [mm] \wurzel{} [/mm]
Wenn ich aber ||v|| mit der Eukalidischen Norm Berechne erhalte ich aber was ganz anderes... und das macht mich bischen stutzig sollte das nicht Äquivalent sein?
für d<v,w> = ||v - w|| = ||v|| - ||w|| und hier würde ich dann - 55 als ergebnis erhalten was auch nicht sein kann . Weil kann der Abstand negativ sein?
Nun für mich steht eigentlich nur eines fest.
Diese Beiden vektoren stehen Senkrecht zueinander da <v,w> = 0. Das hab ich auch verstanden woher das kommt aber der rest verwirrt mich leider im moment.
Für (S2) erhalte ich <v,w> = - 14 , <v,v> = 31, <w,w> 100 und auch hier stimmt nichts überein und darf v,w überhaupt negativ werden?
Bei Beispiel b steh ich ehrlich gesagt total an.
Meine idee ist ja. Wenn ein Vektor orthogonal ist dann muss der doch das selbe ergebnis bei <v,v> liefern und bei <v,w> oder?
Oder muss ich das über das Gram Schmidt verfahren lösen?
Bloß brauch ich da nicht mindestens 2 Vektoren?
mfg
Christoph
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Bist du dir sicher, dass du die Aufgabenstellung korrekt abgeschrieben hast, weil das mit dem $v=...$ ganz oben in der Aufgabenstellung etwas seltsam aussieht.
> für S1 <v,w> = 0, <v,v> = 11, <w,w,> = 66
> Jetzt haben wir ein Satz aufgeschrieben der folgendes
> besagt:
> ||v|| = [mm]\wurzel{}[/mm]
> Wenn ich aber ||v|| mit der Eukalidischen Norm Berechne
> erhalte ich aber was ganz anderes... und das macht mich
> bischen stutzig sollte das nicht Äquivalent sein?
Nein, das ist nicht das gleiche. Die euklidische Norm kommt vom Standardskalarprodukt: [mm] $<\vektor{x_1 \\ y_1}, \vektor{x_2 \\ y_2}>=x_1x_2+y_1y_2$. [/mm] Für dieses gilt dann, dass die eukldische Norm des Vektors $v$ gleich der Wurzel aus dem Standardskalarprodukt $<v,v>$ ist. Für andere Skalarprodukte erhälst du aber auch andere Werte bei der zugehörigen Norm.
> für d<v,w> = ||v - w|| = ||v|| - ||w||
Das ist nicht so gut. Wegen der Dreiecksungleichung kannst du das so nicht auseinanderziehen. Berechne zuerst die Differenz $v-w$ und die entsprechende Norm dieses Vektors.
Schau bitte nochmal nach, ob du die Aufgabenstellung richtig abgeschrieben hast, dann rechne ich deine Ergenisse mal nach.
> Bei Beispiel b steh ich ehrlich gesagt total an.
> Meine idee ist ja. Wenn ein Vektor orthogonal ist dann muss
> der doch das selbe ergebnis bei <v,v> liefern und bei <v,w>
> oder?
Nein. Ein Vektor $u$ steht senkrecht auf $v$, wenn das Skalarprodukt $<v,u>=0$ ist. D.h. finde einen Vektor $u$, so dass das Skalarprodukt mit $v$ Null wird.
> Oder muss ich das über das Gram Schmidt verfahren
> lösen?
Nein. Das Gram-Schmidt-Verfahren ist dafür da 2 gegebene Vektoren zu orthogonalisieren. Natürlich kannst du dir einen beliebigen Vektoren $w$ nehmen und den dann zu $v$ orthogonalisieren, aber....viel zu aufwendig
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:15 Do 05.01.2012 | | Autor: | bonzai0710 |
Ja da liegt ein fehler vor.
es sollten natürlich 2 Vektoren sein v und w weil so macht das ganze keinen sinn. Hab mich da leider vertippt. Ich korrigiere es schnell.
Aber danke für deine Ausführungen ich glaub jetzt hab ich es soweit verstanden das ich es richtig machen kann :)
Laut meinem Verständnis hab ich damit folgende Ergebnise
(S1) d<v-w> = [mm] \vmat{\vmat{ \vektor{2\\-1}-\vektor{3\\4}}} [/mm] = [mm] \vmat{\vmat{\vektor{-1\\-5}}} [/mm] = [mm] \vmat{\vmat{u}} [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{77}
[/mm]
Für das finden des Ortogonalvektors u bin ich so rangegangen:
Ich habe in (S1) den w vektor eingesetz und für v allgemein [mm] x_{1} [/mm] und [mm] x_{2} [/mm] geschrieben Danach hab ich (S1) <v,w> = 0 (meinem Ergebnis) gesetzt.
Das ergebnis ist eine Allgemeine Lösung [mm] x_{1} [/mm] = [mm] -2x_{2} \Rightarrow [/mm] u = [mm] \vektor{-2x_{2}\\x_{2}}
[/mm]
Für (S2) hab ich das gleich gemacht meine ergebnisse:
d<v-w> = [mm] \wurzel{159}
[/mm]
u = [mm] \vektor{\bruch{-7-11x_{2}}{2}\\ x_{2} }
[/mm]
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