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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 16.07.2009 | | Autor: | BJJ |
Hallo,
angenommen wir haben Vektoren x = [mm] (x_1, \ldots, x_n) [/mm] und y = [mm] (y_1, \ldots, y_n) [/mm] mit der Eigenschaft
[mm] x_i \geq x_{i+1}
[/mm]
[mm] y_i \geq y_{i+1}
[/mm]
fuer alle i [mm] \in [/mm] {1, [mm] \ldots, [/mm] n-1}. Sei [mm] \pi [/mm] eine Permutation auf [mm] \{1, \ldots, n\}. [/mm] Gilt dann
[mm] \sum x_i y_i \geq \sum x_i y_{\pi(i)}?
[/mm]
Fur n=2 gilt das und der Beweis ist recht einfach. Wie koennte man das fuer beliebige n zeigen?
Danke und beste Gruesse
j
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:41 Do 16.07.2009 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\sum x_i y_i \geq \sum x_i y_{\pi(i)}?[/mm]
>
> Fur n=2 gilt das und der Beweis ist recht einfach.
Gut, müsste ich mir jetzt herleiten, aber die Aussage macht ja Sinn ...
> Wie
> koennte man das fuer beliebige n zeigen?
Reduktion / Induktion auf den obigen Fall! Ist [m]\pi(n)=n[/m], geht es sofort mit Induktion, ansonsten zeige, dass der Wert der Summe sich vergrößert, wenn du [m]y_{\pi(n)}[/m] mit [m]y_{n}[/m] vertauscht, also [m]y_n[/m] wieder an die Stelle von [m]x_n[/m] bringst, also wieder den Fall für eine Vertauschung hast.
SEcki
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