Skalarprodukt mit Norm < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen Sie folgende Aussage:
Sei V ein [mm] \IR [/mm] - VR, <*,*> ein Skalarprodukt auf V und ||*|| eine Norm auf V, gegeben durch [mm] ||v||^2 [/mm] = <v,v>. [mm] \forall [/mm] v,w [mm] \in [/mm] V gilt:
||v + [mm] w||^2 [/mm] - ||v - [mm] w||^2=4. [/mm] |
Hi, ich wollte mal fragen, ob ich das so richtig gemacht habe, weil ich habe es nicht wirklich verstanden, aber ich hatte so ein ähliches beispiel gesehen und habe es genau nach dem Schema gemacht. Also.
||v + [mm] w||^2 [/mm] - ||v - [mm] w||^2 [/mm] = <v+w,v+w> + <v-w,v-w> = <v,v> + 2<v,w> + <w,w> + <v,v> - 2<v,w> + <w,w> = 2<v,v> + 2<w,w> = 4<v,w>
Ist das so richtig?? von den beispiel, bei dem ich es abgeguckt habe, dort war die Norm ||v|| = [mm] \wurzel{}, [/mm] und die sind genauso vorgegangen, nur dass das ergebnis dann zum schluss anders war.
ich kann ja auch gleich mal bisschen nachfragen, wie die schritte zu stande kommen. also:
das ||v + [mm] w||^2 [/mm] ist ja bestimmt das selbe wie <v+w,v+w> , analog mit ||v - [mm] w||^2 [/mm] = <v-w,v-w>
so bei dem nächsten schritt komme ich schon nicht mehr mit, wie das <v,v> + 2<v,w> + <w,w> + <v,v> - 2<v,w> + <w,w> zustande kommt. wie vereinfachen die das? und wie wird die norm ins gespiel gebracht?
danke.
gruß
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:31 Mo 14.04.2008 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Beweisen Sie folgende Aussage:
>
> Sei V ein [mm]\IR[/mm] - VR, <*,*> ein Skalarprodukt auf V und ||*||
> eine Norm auf V, gegeben durch [mm]||v||^2[/mm] = <v,v>. [mm]\forall[/mm] v,w
> [mm]\in[/mm] V gilt:
>
> ||v + [mm]w||^2[/mm] - ||v - [mm]w||^2=4.[/mm]
> Hi, ich wollte mal fragen, ob ich das so richtig gemacht
> habe, weil ich habe es nicht wirklich verstanden, aber ich
> hatte so ein ähliches beispiel gesehen und habe es genau
> nach dem Schema gemacht. Also.
>
> ||v + [mm]w||^2[/mm] - ||v - [mm]w||^2[/mm] = <v+w,v+w> [mm] $\red{+}$ [/mm] <v-w,v-w> = <v,v> +
Anstelle des roten $+$ muss ein $-$ stehen.
> 2<v,w> + <w,w> + <v,v> - 2<v,w> + <w,w> = 2<v,v> + 2<w,w> =
> 4<v,w>
> Ist das so richtig?? von den beispiel, bei dem ich es
Nein, denn Du hast einen Folgefehler:
Weil Du oben $+$ anstatt $-$ stehen hast, musst Du das ganze korrigieren zu
[mm] $||v+w||^2-||v-w||^2=+2 [/mm] + <w,w> [mm] \blue{- \left( +2 + \right)}=...$
[/mm]
> abgeguckt habe, dort war die Norm ||v|| = [mm]\wurzel{},[/mm]
Wo ist der Unterschied zu Deiner Norm oben? Genau, es gibt keinen. Denn eine Norm nimmt nur Werte [mm] $\ge [/mm] 0$ an, daher gilt
[mm] $||v||^2= \gdw ||v||=\sqrt{}$
[/mm]
> und die sind genauso vorgegangen, nur dass das ergebnis
> dann zum schluss anders war.
>
> ich kann ja auch gleich mal bisschen nachfragen, wie die
> schritte zu stande kommen. also:
>
> das ||v + [mm]w||^2[/mm] ist ja bestimmt das selbe wie <v+w,v+w> ,
> analog mit ||v - [mm]w||^2[/mm] = <v-w,v-w>
ja, das folgt ja eben, weil per Definitionem [mm] $||z||^2=$ [/mm] nach Definition gilt. Einmal setzt man für $z$ dann $v+w$, das andere mal $v-w$ ein (beachte: wenn $v,w [mm] \in [/mm] V [mm] \Rightarrow [/mm] (v [mm] \pm [/mm] w) [mm] \in [/mm] V$).
> so bei dem nächsten schritt komme ich schon nicht mehr mit,
> wie das <v,v> + 2<v,w> + <w,w> + <v,v> - 2<v,w> + <w,w>
> zustande kommt. wie vereinfachen die das? und wie wird die
> norm ins gespiel gebracht?
Wie gesagt: Da ist schon ein Folgefehler bei Dir passiert.
[mm] $||v+w||^2-||v-w||^2=-$
[/mm]
Eigenschaften des Skalarproduktes benutzen, vgl. ![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Skalarprodukt#Allgemeine_Definition die allg. Definition.
Z.B. gilt
$<v-w,v-w>=<v+(-w),v+(-w)>=<v+(-w),v>+<-w,v+(-w)>$ wegen der Bilinerität. Dabei kann man dann weiter
$<v+(-w),v>=<v,v>+<-w,v>=<v,v>+<(-1)*w,v>=<v,v>+(-1)*<w,v>$ ausnutzen etc.
Wenn man hier erkennt, dass man mit den "Minuszeichen" wie gewohnt rechnen darf, erkennt man schnell, dass die Bilinarität impliziert:
$<v+w,v+w>-<v-w,v-w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>-(<v,v>-<v,w>-<w,v>+<w,w>)$
(Es ist vergleichbar, wie wenn Du
$(a+b)(a+b)-(a-b)(a-b)=a*a+a*b+b*a+b*b-(a*a-a*b-b*a+b*b)$ rechnen würdest. Aber die Rechtfertigung, dass man hier so rechnen darf, liefert die Bilinerität.)
Zusammenfassen:
$<v+w,v+w>-<v-w,v-w>=<v,v>+<v,w>+<w,v>+<w,w>-(<v,v>-<v,w>-<w,v>+<w,w>)$
[mm] $=\blue{}+++\green{}\blue{-}++\green{-}$
[/mm]
$=2<v,w>+2<w,v>$
Wegen der Symmetrie ist aber zudem $2<v,w>+2<w,v>=2<v,w>+2<v,w>=4<v,w>$
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
Hi. vielen dank. jetzt habe ich es sogar verstanden.
darf ich dich auch noch kurz was anderes fragen. Wir haben heute in unserer Vorlesung mit diesen sachen neu angefangen und da war dann auch so eine Def.:
Eine Abb. s:VxV [mm] \to \IC [/mm] heißt sequilinear, falls:
1) s ist linear in der 1. Komponente
2) s ist semilinear in der 2. Komponente, d.h. [mm] s(v,\lambda*w [/mm] + [mm] \mu*u) [/mm] = [mm] \overline{\lambda}*s(v,w) [/mm] + [mm] \overline{\mu}*s(v,u).
[/mm]
so, was bedeutet [mm] \overline{\lambda} [/mm] und [mm] \overline{\mu}
[/mm]
die bedeutung von dem balken versteh ich noch nicht so.
gruß
|
|
|
| |
|
Hallo Steve,
die Skalare [mm] $\lambda$ [/mm] und [mm] $\mu$ [/mm] sind hier bei der Sesquilinearform komplexe Zahlen.
Und die werden in der 2.Komponente nicht linear herausgezogen, sondern werden als komplex Konjugierte herausgezogen.
Das bezeichnet der "Balken" oder Querstrich
Wenn du ne komplexe Zahl [mm] $\lambda=x+iy$ [/mm] hast, so ist [mm] $\overline{\lambda}=x\red{-}iy$
[/mm]
LG
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:04 Di 15.04.2008 | | Autor: | jaruleking |
achso.
besten dank für eure erklärungen.
gruß
|
|
|
|
