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Hallo mal wieder...
Ich brauche gaaanz dringend Hilfe, bin halb am verzweifeln.
Ich soll nachweisen, daß eine Funktion ein Skalarprodukt ist, allerdings enthält diese ein Integral, und da wir in analysis noch nicht bei den Integralen angekommen sind, darf ich diese regeln ja eigentlich nciht anwenden.
trotzdem habe ich zur Symmetrie vorrausgesetzt, daß die kommutativität zweier Funktionen beim integrieren erhalten bleibt, und für die bilinearform habe ich mich auf das distributivgesetz gestürzt, aber da müßte ich halt eigentlich auich noch nachweisen, das das für Integrale gilt...
jetzt muß ich aber auch noch die positive definitheit nachweisen, und da weiß ich nun gar nicht mehr weiter.
es geht um folgende Funktion:
Sei V:={ f(X) [mm] \in \IR[X] [/mm] | deg [mm] f(X)\le3 \vee [/mm] f(X) = 0} und
s(h,k) := [mm] integral_{-1}^{1} [/mm] {h(x)*k(x) dx}
wobei h(x) die durch f(X) definierte Polynomfunktion ist.
Kann mir da irgendjemand auf die Sprünge helfen? Bin total ratlos....
Biene
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Hallo Biene!
Hm, ohne die Regeln für Integrale ist das wirklich hart. Aber folgende Regel wird dringend benötigt:
Ist $f : [mm] \IR \to \IR$ [/mm] eine stetige, positive Funktion (also $f [mm] \geq [/mm] 0$) und angenommen es gibt einen Punkt $x [mm] \in [/mm] [-1, 1]$ mit $f(x) > 0$.
Dann ist [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx > 0$
Das ist nur die simple Tatsache, dass das Integral einer echt positiven Funktion positiv ist.
Daraus folgt nun, was Du brauchst... kannst Du das sehen? Falls nicht, melde Dich einfach. 
Lars
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Hallo Gnometech,
danke für deine superschnelle Antwort, mir ist das dann schon um einiges klarer (wenn auch noch nicht komplett...) ich frage mich nur, ob ich damit bewiesen habe, daß es außer dem Punkt 0,0 keine weitere stelle geben kann, an der s(a,a) = 0 sein kann? denn dann hätte ich ja nur eine positiv semidefinite form, ich brauch aber das skalarprodukt....
danke,
Biene
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Hallo Biene!
Nein, in diesem Fall kann es zum Glück keine Sonderfälle geben, aber das ist nicht ganz soo leicht zu beweisen.
Zunächst mal ist es ja so, dass das Integral einzelnde Punkte "nicht sieht". Wenn also eine Funktion folgendermaßen definiert ist:
$f(x) = [mm] \left\{ \begin{array}{ll} 0 \quad & \mbox{falls } x \not= 0 \\ 1 \quad & \mbox{falls } x = 0\end{array} \right.$
[/mm]
Dann folgt: [mm] $\int_{-1}^1 [/mm] f(x) [mm] \; [/mm] dx = 0$
Und das, obwohl das $f$ nicht die Nullfunktion ist. Wegen [mm] $f^2 [/mm] = f$ gilt das übrigens auch für das Quadrat der Funktion. Wie kommt das? Nun, das Integral "übersieht" den einzelnen Punkt.
Wieso kann ein solcher Fall hier nicht auftreten? Der Grund liegt darin, dass die betrachteten Funktionen allesamt Polynome sind. Polynome sind immer stetige Funktionen und ausserdem gilt: ist ein Polynom auf dem Intervall $[-1,1]$ gleich 0, so ist es konstant gleich 0 (ein von 0 verschiedenes Polynom hat nur endlich viele Nullstellen).
Die Stetigkeit rettet uns jetzt: ist $f$ ein beliebiges Polynom mit $f [mm] \not= [/mm] 0$. Dann ist [mm] $f^2(x) \leq [/mm] 0$ für alle $x [mm] \in [/mm] [-1,1]$ und es gibt ein [mm] $x_0 \in [/mm] [-1,1]$ mit [mm] $f^2(x) [/mm] = c > 0$.
Sei nun [mm] $\varepsilon [/mm] := [mm] \frac{c}{2}$. [/mm] Aufgrund der Stetigkeit von [mm] $f^2$ [/mm] gibt es dann ein [mm] $\delta [/mm] > 0$, so dass für $y [mm] \in [/mm] ] [mm] x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta [/mm] [$ gilt: [mm] $|f^2(y) [/mm] - [mm] f^2(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] und daraus folgt: [mm] $f^2(y) [/mm] > [mm] \frac{c}{2}$ [/mm] für solche $y$. Wir können ausserdem annehmen, dass das Intervall [mm] $]x_0 [/mm] - [mm] \delta, x_0 [/mm] + [mm] \delta[$ [/mm] ganz in $[-1,1]$ enthalten ist - zur Not verkleinern wir das [mm] $\delta$ [/mm] und das [mm] $x_0$ [/mm] muss ja nicht unbedingt ein Randpunkt sein. 
Dann aber gilt:
[mm] $\int_{-1}^1 f^2(x) \; [/mm] dx [mm] \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} f^2(x) \; [/mm] dx [mm] \geq \int_{x_0 - \delta}^{x_0 + \delta} \frac{c}{2} \; [/mm] dx = [mm] \frac{c}{2} \cdot [/mm] 2 [mm] \delta [/mm] = c [mm] \cdot \delta [/mm] > 0$
Und das zeigt die Positivität und damit ist die Form wirklich positiv definit und eben nicht nur positiv semidefinit.
Alles klar?
Lars
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