Skalarprodukt/Funktionenraum < Funktionalanalysis < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Für [mm] \lambda \in \mathbb{R} [/mm] sei [mm] f_\lambda:\mathbb{R}->\mathbb{C}, f_\lambda(s):=e^{i \lambda s}, [/mm] und [mm] V=span_\mathbb{C}\{f_\lambda:\lambda \in \mathbb{R}\}. [/mm] Zu zeigen ist, dass durch
[mm] :=lim_{T \to \infty}\frac{1}{2T}\int_{-T}^Tf(s) \overline{g(s)}ds [/mm] ein Skalarprodukt auf V definiert ist.
Weiterhin soll gezeigt werden, dass [mm] S:=\{f_\lambda:\lambda \in \mathbb{R}\} [/mm] ein Orthonormalsystem in V bildet. |
Ich habe ein paar Schwierigkeiten beim "Nachrechnen" der geforderten Eigenschaften.
Zuerst müsste man doch zeigen, dass die Abbildung überhaupt wohldefiniert ist, d.h. dass der Grenzwert für alle Funktionen in V existiert. Ich habe leider keine Ahnung, wie ich das machen soll, da es mir wenig umsetzbar erscheint, f und g beliebig aus V zu wählen, dann mit der Definition von V zu schreiben, auszumultiplizieren und schließlich zu integrieren.
Die Linearität zu zeigen ist nicht allzu schwer, denke ich; selbiges gilt für die komplexe Symmetrie.
Bei der positiven Definitheit hätte ich noch das Problem, wie man aus <f,f>=0 folgert, dass f=0 sein muss. Aber vielleicht sollte man damit erst mal abwarten, vielleicht klärt sich das ja dann von selbst, sobald ich verstehe, wieso der Grenzwert immer existiert... kann mir dabei jemand helfen?
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[mm]V[/mm] besteht ja aus allen Summen
[mm]\sum_{\lambda \in \mathbb{R}} a_{\lambda} f_{\lambda} \ \ \text{mit} \ \ a_{\lambda} \in \mathbb{C}, \ \text{fast alle} \ a_{\lambda} = 0[/mm]
Nur scheinbar ist der Indexbereich der Summe überabzählbar. In Wirklichkeit handelt es sich immer um endlich viele Summanden (fast alle [mm]a_{\lambda} =0[/mm]). Die formale Summation über alle [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm] dient nur der übersichtlicheren Darstellung. Im Folgenden wird immer über alle [mm]\lambda,\mu \in \mathbb{R}[/mm] summiert, sofern keine weiteren Angaben gemacht werden. Einschränkende Bedingungen werden am Summenzeichen extra notiert.
Wenn man nun zwei solche Summen
[mm]f = \sum a_{\lambda} f_{\lambda} \, , \ \ g = \sum b_{\mu} f_{\mu}[/mm]
hat, kann man, sofern ich mich nicht verrechnet habe, [mm]\langle f,g \rangle[/mm] konkret angeben:
[mm]\langle f,g \rangle = \sum_{\lambda = \mu} a_{\lambda} \overline{b_{\mu}}[/mm]
Die Rechnung beginnt so:
[mm]\frac{1}{2T} \int_{-T}^T \left( \sum a_{\lambda} f_{\lambda}(s) \right) \cdot \overline{\left( \sum b_{\mu} f_{\mu}(s) \right)} ~ \mathrm{d}s = \frac{1}{2T} \int_{-T}^T \sum a_{\lambda} \overline{b_{\mu}} f_{\lambda}(s) \overline{f_{\mu}(s)} ~ \mathrm{d}s = \ldots[/mm]
und endet nach einigen Umformungen so:
[mm]\ldots = \sum_{\lambda=\mu} a_{\lambda} \overline{b_{\mu}} + \sum_{\lambda \neq \mu} a_{\lambda} \overline{b_{\mu}} \cdot \underbrace{\ \frac{\sin \left( (\lambda-\mu) T \right)}{(\lambda-\mu) T} \ }_{\to 0 \ \mbox{für} \ T \to \infty}[/mm]
Jetzt versuche dich einmal selber an den Zwischenschritten.
Als Nachtrag noch ein Beispiel:
[mm]f(s) = (1 + \operatorname{i}) \operatorname{e}^{- \operatorname{i} \cdot 0{,}3 s} + (2 - 2 \operatorname{i}) \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot 1{,}2 s} + (3 - \operatorname{i}) \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot 2{,}3 s} \, , \ \ \ g(s) = (2 - \operatorname{i}) \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot 1{,}2 s} + (4 - 3 \operatorname{i}) \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot 1{,}6 s} + (1 - 3 \operatorname{i}) \operatorname{e}^{\operatorname{i} \cdot 2{,}7 s}[/mm]
[mm]\langle f,g \rangle = (2 - 2 \operatorname{i}) \cdot (2 + \operatorname{i}) = 6 - 2 \operatorname{i}[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:59 So 04.11.2012 | | Autor: | Feuerkerk |
Hallo Leopold,
danke für diese ausführliche und sehr hilfreiche Antwort - habe nach einigem Probieren die Zwischenschritte herausbekommen; mit der dadurch bewiesenen Identität lässt sich alles, was mir noch fehlt, zeigen. Nochmals vielen Dank!
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