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| Aufgabe | Seien $f(t) = t$ und $g(t) = [mm] e^t$ [/mm] Elemente aus $C([0,1])$, d.h. stetige Funktionen im Intervall [0,1], mit dem Skalarprodukt
$<f,g> = [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt} [/mm] $
Berechne $<f,g>, ||f||, ||g||$ und $||f+g||$. Zeige außerdem, dass die Chauchy-Schwarzsche Ungleichung und die Dreiecksungleichung hier gelten. |
Hallo,
ich bräuchte mal eine Kontrolle, um zu sehen, ob ich alles richtig mache :)
Erst berechnen wir $<f,g>$.
$<f,g> = [mm] \integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt} [/mm] = [mm] \integral_{0}^{1}{te^t dt} [/mm] = e^tt - [mm] \integral_{0}^{1}{e^t dt} [/mm] = [mm] e^t(t-1) |^1_0 [/mm] = [mm] (e^1(1-1))-(e^0(0-1)) [/mm] = 0+1=1$
Es folgen [mm] $\parallel [/mm] f [mm] \parallel$ [/mm] und [mm] $\parallel g\parallel$:
[/mm]
[mm] $\parallel f\parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{f(t)^2 dt}} [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{t^2 dt}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}t^3|^1_0} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}-0} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{3}}$
[/mm]
[mm] $\parallel [/mm] g [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{g(t)^2 dt}} [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{e^{2t} dt}}$
[/mm]
Wir ersetzen: $u = 2t, du = 2dt$:
[mm] $\wurzel{\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{e^u dt}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}e^{2t}|^1_0} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}e^2-\bruch{1}{2}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{2}(e^2-1)}$
[/mm]
[mm] $\parallel [/mm] f+g [mm] \parallel$ [/mm] ist:
[mm] $\parallel [/mm] f+g [mm] \parallel [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{(f(t)+g(t)) dt}} [/mm] = [mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{f(t)^2dt}+2\integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt} + \integral_{0}^{1}{g(t)^2 dt}} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{1}{3}+2+\bruch{1}{2}(e^2-1)} [/mm] = [mm] \wurzel{\bruch{7}{3}+\bruch{1}{2}(e^2-1)}$
[/mm]
Für die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt:
$1 [mm] \le \bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{2}(e^2-1) [/mm] = 1.844$
Und für die Dreiecksungleichung:
$2.351 = [mm] \wurzel{\bruch{7}{3}+\bruch{1}{2}(e^2-1)} \le \bruch{1}{\wurzel{3}}+\wurzel{\bruch{1}{2}(e^2-1)} [/mm] = 2.365$
Es wäre super, wenn hier jemand mal drüber gucken könnte :)
Liebe Grüße.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:04 Fr 27.02.2015 | | Autor: | fred97 |
> Seien [mm]f(t) = t[/mm] und [mm]g(t) = e^t[/mm] Elemente aus [mm]C([0,1])[/mm], d.h.
> stetige Funktionen im Intervall [0,1], mit dem
> Skalarprodukt
>
> [mm] = \integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt}[/mm]
>
> Berechne [mm], ||f||, ||g||[/mm] und [mm]||f+g||[/mm]. Zeige außerdem,
> dass die Chauchy-Schwarzsche Ungleichung und die
> Dreiecksungleichung hier gelten.
> Hallo,
>
> ich bräuchte mal eine Kontrolle, um zu sehen, ob ich alles
> richtig mache :)
>
> Erst berechnen wir [mm][/mm].
>
> [mm] = \integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt} = \integral_{0}^{1}{te^t dt} = e^tt - \integral_{0}^{1}{e^t dt} = e^t(t-1) |^1_0 = (e^1(1-1))-(e^0(0-1)) = 0+1=1[/mm]
>
> Es folgen [mm]\parallel f \parallel[/mm] und [mm]\parallel g\parallel[/mm]:
>
> [mm]\parallel f\parallel = \wurzel{\integral_{0}^{1}{f(t)^2 dt}} = \wurzel{\integral_{0}^{1}{t^2 dt}} = \wurzel{\bruch{1}{3}t^3|^1_0} = \wurzel{\bruch{1}{3}-0} = \bruch{1}{\wurzel{3}}[/mm]
>
> [mm]\parallel g \parallel = \wurzel{\integral_{0}^{1}{g(t)^2 dt}} = \wurzel{\integral_{0}^{1}{e^{2t} dt}}[/mm]
>
> Wir ersetzen: [mm]u = 2t, du = 2dt[/mm]:
>
> [mm]\wurzel{\bruch{1}{2}\integral_{0}^{1}{e^u dt}} = \wurzel{\bruch{1}{2}e^{2t}|^1_0} = \wurzel{\bruch{1}{2}e^2-\bruch{1}{2}} = \wurzel{\bruch{1}{2}(e^2-1)}[/mm]
>
> [mm]\parallel f+g \parallel[/mm] ist:
>
> [mm]\parallel f+g \parallel = \wurzel{\integral_{0}^{1}{(f(t)+g(t)) dt}} = \wurzel{\integral_{0}^{1}{f(t)^2dt}+2\integral_{0}^{1}{f(t)g(t) dt} + \integral_{0}^{1}{g(t)^2 dt}} = \wurzel{\bruch{1}{3}+2+\bruch{1}{2}(e^2-1)} = \wurzel{\bruch{7}{3}+\bruch{1}{2}(e^2-1)}[/mm]
Nach dem 1. "=" soll es so lauten:
[mm] \wurzel{\integral_{0}^{1}{(f(t)+g(t))^2 dt}}
[/mm]
>
> Für die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung gilt:
>
> [mm]1 \le \bruch{1}{\wurzel{3}}*\bruch{1}{2}(e^2-1) = 1.844[/mm]
>
> Und für die Dreiecksungleichung:
>
> [mm]2.351 = \wurzel{\bruch{7}{3}+\bruch{1}{2}(e^2-1)} \le \bruch{1}{\wurzel{3}}+\wurzel{\bruch{1}{2}(e^2-1)} = 2.365[/mm]
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> Es wäre super, wenn hier jemand mal drüber gucken könnte
> :)
>
Alles O.K.
FRED
> Liebe Grüße.
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:15 Fr 27.02.2015 | | Autor: | MeMeansMe |
Hallo,
> Alles O.K.
>
> FRED
> > Liebe Grüße.
>
Prima, danke :)
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