Skalarprodukt + Polynome < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
folgende Aufgabe:
[Dateianhang nicht öffentlich]
V besteht aus allen Polynomen mit Grad [mm] \le [/mm] 2. In (a) habe ich bereits gezeigt, dass <p, q> Skalarprodukt ist. War einfach.
In (b) soll ich die Orthonormalbasis von V bestimmen. Nach dem "Gramm-Schmidt" benötige ich eine Basis von V. Habe mir eine Basis von V überlegt. Im Prinzip lassen sich die Polynome des Grades [mm] \le [/mm] 2 aus drei Polynomen linear kombinieren: [mm] x^2, [/mm] x und 1. Also wäre z.b eine Basis von V:
B = [mm] (x^2, [/mm] x, 1) - richtig? Ich gebe den Polynomen, die die Basis bilden namen:
[mm] x_1(x) [/mm] = [mm] x^2 \Rightarrow x_1'(x) [/mm] = 2x [mm] \Rightarrow x_1''(x) [/mm] = 2
[mm] x_2(x) [/mm] = x [mm] \Rightarrow x_2'(x) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_2''(x) [/mm] = 0
[mm] x_3(x) [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow x_3'(x) [/mm] = 0 [mm] \Rightarrow x_3''(x) [/mm] = 0
Nun kann ich mit Gramm-Schmidt die ungenormten Vektoren ermitteln, die die ONB von V bilden.
[mm] y_1 [/mm] = [mm] x_1(x) [/mm] = [mm] x^2 \Rightarrow ||y_1|| [/mm] = [mm] \wurzel{} [/mm] = [mm] \wurzel{y_1(a) y_1(a) + y_1'(b)y_1'(b) + y_1''(c)y_1''(c)} [/mm] = [mm] a^2 a^2 [/mm] + 2b 2b + 2*2 = [mm] \wurzel{a^4 + 4b + 4}
[/mm]
Stimmt das soweit?
[mm] y_2 [/mm] sähe so aus:
[mm] y_2 [/mm] = [mm] x_1(x) [/mm] - [mm] \frac{}{||y_1||^2} y_1 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{x_2(a) y_1(a) + x_2'(b) y_1'(b) + x_2''(c) y_1''(c)}{a^4 + 4b + 4} x^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] - [mm] \frac{a^3 + 2b}{a^4 + 4b + 4} x^2 [/mm] = ...
Stimmt das? Kann ich nach dem Verfahren weiterrechnen?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
|
|
| |
|
Hallo 
> Polynome des Grades [mm]\le[/mm] 2 aus drei Polynomen linear
> kombinieren: [mm]x^2,[/mm] x und 1. Also wäre z.b eine Basis von V:
>
> B = [mm](x^2,[/mm] x, 1) - richtig?
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
[mm]y_1[/mm] = [mm]x_1(x)[/mm] = [mm]x^2 \Rightarrow ||y_1||[/mm] = [mm]\wurzel{}[/mm]
> = [mm]\wurzel{y_1(a) y_1(a) + y_1'(b)y_1'(b) + y_1''(c)y_1''(c)}[/mm]
> = [mm]a^2 a^2[/mm] + 2b 2b + 2*2 = [mm]\wurzel{a^4 + 4b + 4}[/mm]
> Stimmt das soweit?
Bis auf einen kleinen Fehler ok, es müsste [mm]\wurzel{a^4 + 4b^2 + 4}[/mm] heissen.
> [mm]y_2 = x_1(x) - \frac{}{||y_1||^2} y_1[/mm]
Hm, soweit ich mich erinnere, ging das Verfahren ein bisschen anders:
[mm]y_2 = x_2(x) - \frac{}{||y_1||^2} y_1[/mm]
Wenn du sie aber im Nachhinein eh noch normieren willst, reicht auch:
[mm]y_2' = x_2(x) - y_1[/mm]
und dann
[mm]y_2 = \frac{y_2'}{||y_2'||}[/mm]
> Stimmt das? Kann ich nach dem Verfahren weiterrechnen?
Ansonsten kannst du so weitermachen.
MfG,
Gono.
|
|
|
|
