Skalarprodukt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:32 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
| Aufgabe | Betrachten wir dem Vektorraum R2[x] der Polynome von Grad kleiner gleich 2 und setzen für [mm] p,q\in [/mm] R2[x]
(p,q):= [mm] \integral_{-1}^{1}{p(x)q(x) dx}.
[/mm]
Zeigen Sei, dass (.,.) ein Skalarprodukt ist. Verwenden Sie, dass für ein Polynom p, das auf [-1,1]nichtnegativ ist, aus dem Verschwinden des Integrals folgt, dass [mm] p|_{[-1,1]} [/mm] =0 |
Ähm... kann mir vielleicht jemand erklären, was ich überhaupt machen soll???
was bedeutet (.,.) und worum gehts überhaupt??
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:42 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
du musst als erstes alle Eigenschaften für das Skalarprodukt aufschreiben.
die stehen notfalls in deinem skript oder Buch oder net
(..,..)ist das darüberstehende skalarprodukt, also das Integral
dann jede Eigenschaft mit diesem Integral das ja das skalarprodukt sein soll überprüfen.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:51 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Also für das Skalarprodukt gelten folgende Eigenschaftn
billinear (x+y,z)=(x,z)+(y,z)
symmetrisch (x,y)=(y,x)
positiv definit (x,x) [mm] \ge0 [/mm]
1. was heißt das Kommar??
2. ich weiß immernoch nicht was ich eigentlich machen soll?? Was soll dieses Integral bedeuten??
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:18 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
vorrausgestzt wird hier dass die Polynome einen Vektorraum bilden.
Die Elemente sind also Polynome. die kann man mit Skalaren, also zahlen aus r mult. und man kann sie addieren und hat wieder polynome.
Jetzt will man ein Skalarprodukt, der Prof lässt euch nicht raten sondern sagt Skalarprodukt zw. p und q geschrieben (p,q) probieren wir aus [mm]\integral_{-1}^{1}{p(x) q(x)dx}[/mm]
jetzt sollst du nachweisen dass es eines ist, also z.Bsp
(p+q,r)= [mm]\integral_{-1}^{1}{(p(x)+ q(x))*r(x)dx}=\integral_{-1}^{1}{p(x) r(x)dx}+\integral_{-1}^{1}{q(x) r(x)dx}[/mm] stimmt das
entsprechend die anderen Eigenschaften.
es fehlt bei dir aus (x,x)=0 folgt x=0
klarer
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:21 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
ok... es ist jetzt schon mal deutlich klarer geworden danke!!!
Dann versuch ich das jetzt und melde mich wieder!!!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:31 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
also
billinear:
hast du ja schon geschrieben
muss ich denn noch zeigen, dass [mm] \integral{(p(x)+q(x))*r(x)dx} [/mm] = [mm] \integral{p(x)r(x)dx}+\integral{q(x)r(x)dx} [/mm] ist??
symmetrisch
[mm] (p,q)=\integral{p(x)q(x)dx}=\integral{q(x)p(x)dx}=(q,p)
[/mm]
positiv definit.
[mm] (p,p)=0=\integral{p(x)p(x)dx}=0 \Rightarrow [/mm] p(x)=0
allerdings weiß ich nicht wie ich [mm] (p,p)\ge [/mm] 0 zeigen kann
(p,p) [mm] =\integral{p(x)p(x)dx}
[/mm]
Jetzt steht als Hinweis da: Verwenden Sie, dass für ein Polynom p, das auf [-1,1] nichtnegativ ist, aus dem Verschwinden des Integrals folgt, dass [mm] pl_{[-1,1]} [/mm] =0
Was meint er mit Verschwinden des Integrals???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:37 Mi 08.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
wie hast du denn da geschlossen:
$ [mm] (p,p)=0=\integral{p(x)p(x)dx}=0 \Rightarrow [/mm] $ p(x)=0
1. die Grenzen an deinen Integralen fehlen dann stimmt manches nicht.
2. genau für diesen Schluss oben brauchst du die Bemerkung.
3. welche Werte kann denn die fkt [mm] (p(x))^2 [/mm] annehmen? also in (p,p)
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Mi 08.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Also stimmen billinear und symmterisch auch nicht?? Ich habe aus bequemlichkeit die grenzen weggelassen... aber schreibe sie auf dem Blatt Papier natürlich drauf!!
Achso... stimmt habe bei positiv definit einfach das Integral nicht beachtet...
Naja [mm] p^2 [/mm] kann alle postiven Zahlen annehmen...Aber ich versteh immer noch nicht was" aus dem Verschwinden des Integrals folgt" beudeuten soll... wann verschwindet das Integral denn??
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 01:01 Do 09.12.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
ein bissel muss man über integrale schon wissen. Wann kann ein Integral über eine funktion, die überal [mm] \ge0 [/mm] ist verschwinden, also =0 sein
das sym und additiv hast du richtig.
man sollte nur so was dazu schrieben wie integral einer summe = summe der integrale und p*q=q*p weil ja die werte von p in [mm] \IR [/mm] liegen.
aber ob ihr so genau argumentieren müsst weiss ich nicht
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:03 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
Also stimmen billinear und symmterisch auch nicht?? Ich habe aus bequemlichkeit die grenzen weggelassen... aber schreibe sie auf dem Blatt Papier natürlich drauf!!
Achso... stimmt habe bei positiv definit einfach das Integral nicht beachtet...
Naja [mm] p^2 [/mm] kann alle postiven Zahlen annehmen...Aber ich versteh immer noch nicht was" aus dem Verschwinden des Integrals folgt" beudeuten soll... wann verschwindet das Integral denn??
p.s. wieso wurde meine Frage jetzt zu einer Mitteilung???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:50 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
naja also ein Itegral wird null: wenn
die Flächen unter der FUnktion sich aufheben
keine Fläche existiert.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:53 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ist f stetig und [mm] \ge [/mm] 0 auf [a,b] und ist
[mm] \integral_{a}^{b}{f(x) dx}=0,
[/mm]
so ist f(x)=0 für jedes x [mm] \in[a,b]
[/mm]
FRED]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 Do 09.12.2010 | | Autor: | sissenge |
ahhh ok...
damit habe ich ja dann gezeigt, dass (x,x)= 0 wenn x=0
jetzt muss ich aber noch zeigen, [mm] (x,x)\ge [/mm] 0
aber ist dass nicht einfach: da [mm] (p(x)^2 \ge [/mm] 0 folgt dass [mm] \integral{(p(x))^2dx} \ge [/mm] 0
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:03 Do 09.12.2010 | | Autor: | fred97 |
Ja
FRED
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