Skalarprodukt < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:54 Di 18.07.2017 | | Autor: | James90 |
Hi!
Ich verstehe einfach nicht, wie ich bei der folgenden Aufgabe anfangen soll. Über eine Starthilfe wäre ich sehr dankbar
Sei $(V,<*,*>)$ ein euklidischer Vektorraum mit induzierter Norm [mm] $\|x\|:=\sqrt{}$ [/mm] für alle [mm] $x\in [/mm] V$. Beweise
[mm] \|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2\|x\|^2+2\|y\|^2 [/mm] für alle [mm] $x,y\in [/mm] V$
-> Das habe ich hinbekommen
Für [mm] x\in\IR^n [/mm] definiere die Maximumsnorm [mm] \|x\|_{\infty}:=\max_{i=1,\ldots,n}\{|x_i|\}. [/mm] Zeige, dass es kein Skalarprodukt <*,*> auf [mm] \IR^n [/mm] gibt [mm] mit\sqrt{}=\|x\|_{\infty} [/mm] für alle [mm] x\in\IR^n
[/mm]
Ich denke, dass ich die erste Aufgabe benutzen soll, aber irgendwie komme ich nicht weiter.
Viele Grüße und noch einen schönen Abend
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:49 Mi 19.07.2017 | | Autor: | chrisno |
Ich glaube kaum, dass Du die erste Aufgabe benutzen kannst. Es geht gerade um die unterschiedlichen Eigenschaften der beiden Normen.
"Zeige, dass es kein ..." weist darauf hin, dass es eine Eigenschaft der Maximumsnorm gibt die benutzt wird. Geht die Definition des Skalarprodukts durch und überlege, wo es Probleme geben kann.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 08:27 Mi 19.07.2017 | | Autor: | fred97 |
Wenn es ein Skalarprodukt <*,*> auf $ [mm] \IR^n [/mm] $ gäbe mit [mm] $\sqrt{}=\|x\|_{\infty} [/mm] $, so müsste gelten
$ [mm] \|x+y\|_{\infty}^2+\|x-y\|_{\infty}^2=2\|x\|_{\infty}^2+2\|y\|_{\infty}^2 [/mm] $ für alle $ [mm] x,y\in \IR^n [/mm] $.
Zeige dass die nicht für alle $ [mm] x,y\in \IR^n [/mm] $ richtig ist.
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